[論文レビュー] The divisor function and divisor problem

Aleksandar Ivić|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 21被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、除数関数 d(n) 及びその高階反復 d^(k)(n) の最大順序と平均値推定について検討し、解析的数論的手法を用いて d^(2)(n) の鋭い境界を確立する。特に、Vorono"i 型の明示的公式と誤差項 ∆(x) の平均平方推定を用い、短区間における d(n) の分散の漸近公式を導出し、Coppola と Salerno の先行研究を著しく改善するとともに、Jutila や他の研究者による短い等差数列における d(n) の分布に関する研究を拡張する。

ABSTRACT

The purpose of this text is twofold. First we discuss some divisor problems involving Paul Erd\H os (1913-1996), whose centenary of birth is this year. In the second part some recent results on divisor problems are discussed, and their connection with the powers moments of $|ζ(\frac{1}{2}+it)|$ is pointed out. This is an extended version of the lecture given at the conference ERDOS100 in Budapest, July 1-5, 2013.

研究の動機と目的

• 解析的数論を用いて、除数関数の第二反復 d^(2)(n) の最大順序を確立する。
• 短区間における誤差項 ∆(x) = Σ_{n≤x} d(n) − x(log x + 2γ − 1) の平均平方推定を精緻化する。
• 特に U ≪ √T の場合に、区間 [x, x+U] における d(n) の分散の既存の漸近公式を改善する。
• d^(k)(n) の振る舞いと |ζ(1/2 + it)| のモーメントを結びつけることで、除数問題とリーマンゼータ関数を関連付ける。
• 長区間における [∆(x+U)−∆(x)]² の積分の明示的漸近展開を提供し、Jutila や Heath-Brown の先行結果を精緻化する。

提案手法

• 誤差制御のための柔軟なパrameter選択を可能にするために、切り捨てられた Vorono"i 公式を用いて ∆(x) をベッセル関数の和として表現する。
• 複素解析および線分積分を用いて、短区間における和の主項 Mk(N,H) 及び誤差項 Rk(N,H) を推定する。
• ∆k(x) の平均平方推定とリーマンゼータ関数のモーメントとの関係を用いて、漸近展開における誤差を抑え込む。
• ラマヌジャン和 cq(h) 及びディリクレ級数生成関数を用いて、dk(n) 及びそのシフトの算術的構造を分析する。
• 定理3の明示的漸近展開をダイアディック分解とハイブリッド推定と組み合わせ、短区間における最大値の鋭い境界を導出する。
• 誤差項における指数 βk および αk を通じて、除数問題と Lindel"of 予想を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n を変数とするとき、除数関数の第二反復 d^(2)(n) の最大順序はいかほどか？
• RQ2 U ≪ √T である短区間において、誤差項 ∆(x+U)−∆(x) の平均平方および分散はどのように振る舞うか？
• RQ3 積分 ∫_T^{2T} [∆(x+U)−∆(x)]² dx の正確な漸近展開は何か？ また、それらは先行研究をどのように改善するか？
• RQ4 |ζ(1/2 + it)| のモーメントは、除数問題および d^(k)(n) の成長とどのように関係するか？
• RQ5 長さ U の短区間における |∆(x+u)−∆(x)| の最大値の最良の上界は何か？ また、H および T にどのように依存するか？

主な発見

• d^(2)(n) の最大順序は、max_{n≤x} log d^(2)(n) = √(log x / log log x) · (D + o(1)) を満たす。ここで D ≈ 2.7958 は明示的な定数である。
• 短区間における d(n) の分散の漸近公式は、∫_T^{2T} [∆(x+U)−∆(x)]² dx = (TU/3) Σ_{j=0}^3 c_j log^j(√T / U) + O_ε(T^{1/2+ε} U^2 + T^{1+ε} U^{1/2}) で与えられ、定数 c_j は明示的である。
• この漸近公式は、Coppola と Salerno の以前の O(TUL^{5/2}) の誤差項を改善し、誤差を O(T^{1/2+ε} U^2) に低減する。
• 短区間における |∆(x+u)−∆(x)| の最大値に対する改良されたハイブリッド境界が確立された：∫_T^{T+H} max_{0≤u≤U} |∆(x+u)−∆(x)|² dx ≪ HUL^5 + T L^4 log L + H^{1/3} T^{2/3} U^{2/3} L^{10/3} (log L)^{2/3}。
• T, U, H に対して適切な条件下で、|∆(x)| ≥ c_± T^{1/4} を満たす長さ ≫U の部分区間が ≫ H U^{-1} 個存在することを証明した。これは、T^{1/4} スケールでの振動的挙動を確認する。
• 指数 β_k および α_k を通じて、除数問題とリーマンゼータ関数の関係が強化され、β_k = (k−1)/(2k) は最適であると予想され、Lindel"of 予想と同値である。