[論文レビュー] The DMM bound: multivariate (aggregate) separation bounds

Ioannis Z. Emiris, Bernard Mourrain+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、混合体積とスパース結果式高さを活用して、Cannyのギャップ定理を $\mathcal{O}(d^{n-1})$ の要因で改善する、多変数多項式系の孤立根に対する新しい多変数集約分離境界（DMM境界）を導入する。これは、$\mathbb{R}^2$ におけるMilneの分割アルゴリズムの最初の複雑性境界を提供し、固有値計算および単体上の正の多項式に対してより緊密な境界を提示する。

ABSTRACT

In this paper we derive aggregate separation bounds, named after Davenport-Mahler-Mignotte (\dmm), on the isolated roots of polynomial systems, specifically on the minimum distance between any two such roots. The bounds exploit the structure of the system and the height of the sparse (or toric) resultant by means of mixed volume, as well as recent advances on aggregate root bounds for univariate polynomials, and are applicable to arbitrary positive dimensional systems. We improve upon Canny's gap theorem \cite{c-crmp-87} by a factor of $\OO(d^{n-1})$, where $d$ bounds the degree of the polynomials, and $n$ is the number of variables. One application is to the bitsize of the eigenvalues and eigenvectors of an integer matrix, which also yields a new proof that the problem is polynomial. We also compare against recent lower bounds on the absolute value of the root coordinates by Brownawell and Yap \cite{by-issac-2009}, obtained under the hypothesis there is a 0-dimensional projection. Our bounds are in general comparable, but exploit sparseness; they are also tighter when bounding the value of a positive polynomial over the simplex. For this problem, we also improve upon the bounds in \cite{bsr-arxix-2009,jp-arxiv-2009}. Our analysis provides a precise asymptotic upper bound on the number of steps that subdivision-based algorithms perform in order to isolate all real roots of a polynomial system. This leads to the first complexity bound of Milne's algorithm \cite{Miln92} in 2D.

研究の動機と目的

• 多項式系の孤立根（正次元系を含む）の集約分離境界を導出すること。
• 混合体積と結果式高さを用いてスパarsityを活用することで、Cannyのギャップ定理を改善すること。
• 単体上での正の多項式の最小値に対する既存の研究と比較してより緊密な境界を提供すること。
• 実根数え上げを用いて、$\mathbb{R}^2$ におけるMilneの分割アルゴリズムの最初の複雑性境界を確立すること。
• 整数行列の固有値／固有ベクトル計算の多項式ビット複雑性に関する新しい証明を提示すること。

提案手法

• DMM境界は、スパース結果式とその高さを用い、混合体積を組み合わせることで多項式系のスパarsityを活用して導出される。
• 結果式と多項式剰余列を用いて、単変数のDMM境界を多変数系へと拡張する。
• 変数を逐次消去する反復結果式を用い、体積パラメータ $u$ の一変数多項式を計算し、根の分離を可能にする。
• アルゴリズムはSturm列とボックス頂点における符号変化数え上げを用いて、領域内の実根を分離する。
• 複雑性解析は、結果式と多変数多項式評価のビットサイズの上限に依存し、算術的およびビット複雑性を注意深く追跡する。
• 本手法は固有値問題と正の多項式最小化に応用され、微分による臨界点の境界を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパarsityと混合体積を活用することで、多変数多項式系の集約分離境界を改善できるか？
• RQ2 DMM境界は、Cannyのギャップ定理とBrownawell–Yapの境界と比較して、タイトネスと適用可能性においてどのように異なるか？
• RQ3 DMM境界は、根が孤立しない正次元系へと拡張可能か？
• RQ4 $\mathbb{R}^2$ におけるMilneの分割アルゴリズムの複雑性は何か？ また、新しい分離境界を用いてその境界を導けるか？
• RQ5 DMM境界は、整数行列の固有値問題における多項式ビット複雑性の新しい証明を可能にするか？

主な発見

• $n$ 変数系で次数 $d$ の多項式を有する系に対して、DMM境界はCannyのギャップ定理を $\mathcal{O}(d^{n-1})$ の要因で改善する。
• 小規模な $n$ に対して、DMM境界は最適値の $\mathcal{O}(2^n)$ の範囲内にあり、混合体積を用いて表現した場合、[5] よりもタイトである。
• 単体上での正の多項式の最小値に対して、DMM境界は、全次数が変数の数を上回る場合、[2]、[5]、[16] よりも改善される。
• $\mathbb{R}^2$ におけるMilneのアルゴリズムの最初の複雑性境界が確立され、実行時間は $\widetilde{\mathcal{O}}_B(d^{27}\tau + d^{26}\tau^2)$ である。
• DMM境界により、整数行列の固有値／固有ベクトル計算が多項式ビット複雑性を有することの新しい証明が得られる。
• 数値比較において、DMM境界は従来の境界と比較して著しく低いビットサイズ推定値を達成する — 例えば、$d=32$, $\tau=85$ の場合、[2] では16億ビットであるのに対し、DMM境界では324,506ビットである。