[論文レビュー] The domain wall partition function for the Izergin-Korepin 19-vertex model at a root of unity

Alexander Garbali|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$ q = e^{i\theta/3} $、$ \theta = \pi $ におけるイゼルギン＝コレイン 19-頂点模型のドメインウォール分割関数（DWPF）の行列式公式を導出する。R行列の消滅性質に起因する再帰関係を用いて、比例係数 $ P_N $ によって生成される対称多項式を含むジャコビ＝トゥルーデ型行列式としてDWPFを解き、$ q = e^{i\pi/3} $ における閉形式の表現を得る。

ABSTRACT

We study the domain wall partition function $Z_N$ for the $U_q(A_2^{(2)})$ (Izergin-Korepin) integrable $19$-vertex model on a square lattice of size $N$. $Z_N$ is a symmetric function of two sets of parameters: horizontal $ζ_1,..,ζ_N$ and vertical $z_1,..,z_N$ rapidities. For generic values of the parameter $q$ we derive the recurrence relation for the domain wall partition function relating $Z_{N+1}$ to $P_N Z_N$, where $P_N$ is the proportionality factor in the recurrence, which is a polynomial symmetric in two sets of variables $ζ_1,..,ζ_N$ and $z_1,..,z_N$. After setting $q^3=-1$ the recurrence relation simplifies and we solve it in terms of a Jacobi-Trudi-like determinant of polynomials generated by $P_N$.

研究の動機と目的

• $ N \times N $ 格子上の $ U_q(A_2^{(2)}) $-不変 19-頂点模型のドメインウォール境界条件におけるドメインウォール分割関数（DWPF）を計算すること。
• 既知の六頂点模型に対するイゼルギン＝コレインの行列式解を、より複雑な 19-頂点模型に拡張すること。
• 変形パラメータ $ q $ が単位根、特に $ q = e^{i\pi/3} $ のとき、DWPF に対してコンactな行列式表現が存在するかを特定すること。
• ドメインウォール分割関数と対称関数、特にシーアー多項式およびホール＝リトルウッド多項式との関係を調査し、可積分系におけるその役割を明らかにすること。

提案手法

• 19-頂点模型におけるR行列の重みの消滅性質を活用して、DWPF $ Z_N $ の再帰関係を導出する。
• 水平方向および垂直方向のラピディティ $ \zeta_i $ と $ z_j $ に関する対称多項式である比例係数 $ P_N $ を特定し、再帰関係 $ Z_{N+1} \propto P_N Z_N $ を支配する。
• $ q = e^{i\pi/3} $ と設定することで、再帰関係が簡略化され、DWPF が多項式のジャコビ＝トゥルーデ型行列式として表現可能になる。
• 基本対称多項式 $ E_l(z_1,\dots,z_N) $ と $ E_m(\zeta_1,\dots,\zeta_N) $ の積の和を成分とする行列の行列式として解を構成し、$ q $ の累乗を係数に含める。
• カウチ＝ビネの公式を用いて、KP tau関数としての解析に適した形に行列式を再表現する。
• 代数的ベーテアンザッツ法による検証を行い、ループ模型および $ n=1 $ における希釈テンプレリー＝リーブ代数との関連を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 イゼルギン＝コレイン 19-頂点模型のドメインウォール分割関数が $ q = e^{i\pi/3} $ において、閉形式の行列式表現を有するか。
• RQ2 単位根における $ Z_N $ の再帰関係はどのように簡略化され、この極限でどのような代数的構造が出現するか。
• RQ3 得られたDWPFの表現が、既知の対称関数の恒等式や可積分系におけるtau関数と関係しているか。
• RQ4 19-頂点模型のDWPFと、$ n=1 $ における希釈テンプレリー＝リーブループ模型との関係は何か、特に $ q = e^{i\pi/3} $ において。
• RQ5 反射境界条件などの他の境界条件に一般化可能か。同様の行列式形態が得られるか。

主な発見

• $ q = e^{i\pi/3} $ において、ドメインウォール分割関数 $ Z_N $ は行列式として表現される：$ \bar{Z}_N = \det_{1\leq i,j\leq N-1} \left( \sum_{l=0}^{N} \left( q^{-(3j-i)+2l+1} + q^{3j-i-2l-1} \right) E_l(z_1,\dots,z_N) E_{3j-i-l}(\zeta_1,\dots,\zeta_N) \right) $。
• 一般の $ q $ に対して再帰関係 $ Z_{N+1} \propto P_N Z_N $ が成り立ち、$ P_N $ はラピディティ変数に関する対称多項式である。
• 解はラスコーの行列式と構造的に類似しており、カウチ＝ビネの公式を用いて再表現可能である。
• 得られた行列式はKP tau関数であると予想され、六頂点模型のDWPFと可積分階層との既知の関係を拡張する。
• $ q = e^{i\pi/3} $ におけるDWPFは、希釈テンプレリー＝リーブループ模型の $ n=1 $ の場合に対応し、臨界的パーコレーションや他の統計模型と関連づけられる。
• 一般の $ q $ に対しては、コンパクトな閉形式は得られなかったが、再帰関係はハール＝リトルウッド関数などの対称多項式への展開のためのフレームワークを提供する。