[論文レビュー] The domatic number of regular and almost regular graphs

Raphael Yuster|ArXiv.org|Nov 24, 2001

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、k-正則およびほぼk-正則グラフのドミナント数に、(1+o_k(1))k/(2ln k)の下界を確立し、このようなグラフが常にk/log kに比例する線形個の互いに素な支配集合を有することを証明する。半確率的手法におけるローヴァス・ローカル・レームの反復的適用を用いて、k/log kのオーダーがタイトであり、改善できないことを示し、正則グラフにおけるドミナント数の漸近的挙動に関する予想を解消する。

ABSTRACT

The domatic number of a graph $G$, denoted $dom(G)$, is the maximum possible cardinality of a family of disjoint sets of vertices of $G$, each set being a dominating set of $G$. It is well known that every graph without isolated vertices has $dom(G) \geq 2$. For every $k$, it is known that there are graphs with minimum degree at least $k$ and with $dom(G)=2$. In this paper we prove that this is not the case if $G$ is $k$-regular or {\em almost} $k$-regular (by ``almost'' we mean that the minimum degree is $k$ and the maximum degree is at most $Ck$ for some fixed real number $C \geq 1$). In this case we prove that $dom(G) \geq (1+o_k(1))k/(2\ln k)$. We also prove that the order of magnitude $k/\ln k$ cannot be improved. One cannot replace the constant 2 with a constant smaller than 1. The proof uses the so called {\em semi-random method} which means that combinatorial objects are generated via repeated applications of the probabilistic method; in our case iterative applications of the Lovász Local Lemma.

研究の動機と目的

• (k,C)-正則グラフ（最小次数がkで最大次数がCk以下）の最小ドミナント数f(k,C)を特定すること。
• 正則およびほぼ正則グラフにおけるドミナント数の既知の下界と予想される漸近的挙動との間のギャップを埋めること。
• ドミナント数のオーダーk/log kがタイトであり、このようなグラフでは改善できないことを示すこと。
• 低い下界における定数2が、より小さい定数に置き換えられないことを、高度な確率的技法を用いて示すこと。

提案手法

• 半確率的手法を用い、ローヴァス・ローカル・レームの反復的適用により、多くの互いに素な支配集合を持つ彩色を構築する。
• イベント間の依存関係を制御するため、ローヴァス・ローカル・レームの対称版を適用し、頂点が色クラスを支配しなかった場合の事象を扱う。
• エッジ確率p = (1+ε/8)/k^{r-1}のランダムグラフモデルG(n,p)を用いて、典型的な次数および支配性質を分析する。
• チェルノフ型の不等式（集中不等式）を用いて、ランダムグラフにおける次数が期待値のまわりにきわめて集中していることを示す。
• マルコフの不等式を適用し、頂点数より多い辺をもつ小さな部分グラフの期待数を抑え、高確率でこのような部分グラフが存在しないことを保証する。
• 確率的構成と構造的グラフ性質を組み合わせ、大規模な互いに素な支配集合の族が正の確率で存在することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 (C ≥ 1が固定定数である) (k,C)-正則グラフにおける最小ドミナント数f(k,C)は何か？
• RQ2 k-正則グラフにおけるドミナント数のオーダーk/log kは改善可能か、それともタイトか？
• RQ3 下界(1+o_k(1))k/(2ln k)における定数2は最適か、それより小さい定数に置き換え可能か？
• RQ4 ほぼk-正則グラフのドミナント数は、予想通りk/log kのオーダーで増加するか？
• RQ5 ローヴァス・ローカル・レームの反復的適用を伴う半確率的手法は、標準的な確率的手法よりも良い境界をもたらすか？

主な発見

• 任意の(k,C)-正則グラフのドミナント数はf(k,C) ≥ (1+o_k(1))k/(2ln k)を満たし、非自明な下界を確立する。
• 上界f(k,C) ≤ (1+o_k(1))k/ln kにより、オーダーk/log kがタイトであり、改善できないことが示される。
• 下界における定数2は、3未満の定数ではナイーブなローカル・レームの適用が失敗することから、より小さい定数に置き換えられない。
• 上界と下界が一致するため、f(k,C) = (1+o_k(1))k/ln kという予想は支持され、漸近的に正しいと示唆される。
• 高確率で、p = (1+ε/8)/k^{r-1}のランダムグラフG(n,p)は最小次数がk+1以上かつ最大次数がCk以下であり、(k,C)-正則性条件を満たす。
• 頂点数より多い辺をもつ小さな部分グラフが存在しないことにより、長さ≤gのサイクルが頂点を共有しないことが保証され、これが支配の議論を支える。