[論文レビュー] The domino problem on groups of polynomial growth

Alexis Ballier, Maya Stein|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2013

semigroups and automata theory参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限生成でほとんどアーベルな群について、ドミノ問題が決定可能であることは、群がほとんど自由であることと同値であることを証明している。著者たちは、非ほとんど自由で、非自明で、有限生成で、ねじれのない中心をもつ群が、厚さの大きい端を持つことを示し、これにより半グリッド構造を構築することで、ℤ²における決定不能なドミノ問題への還元が可能となり、このような群における決定不能性が示された。

ABSTRACT

We characterize the virtually nilpotent finitely generated groups (or, equivalently by Gromov's theorem, groups of polynomial growth) for which the Domino Problem is decidable: These are the virtually free groups, i.e. finite groups, and those having $\Z$ as a subgroup of finite index.

研究の動機と目的

• 有限生成群がドミノ問題を決定可能であるのは、ほとんど自由であることと同値であるという予想を、ほとんどアーベル群のクラスに制限して証明すること。
• 中心に非自明で、有限生成で、ねじれのない部分群を含むすべての有限生成群にこの結果を拡張すること。
• これらのクラスに属するほとんど自由でない群が、そのカイリー群にグリッドに類似た構造を構築することで、ドミノ問題が決定不能であることを示すこと。
• このような群におけるドミノ問題を、ℤ²における決定不能なドミノ問題へ還元することで、決定不能性を確立すること。
• 有限生成でほとんどアーベルな群のクラスにおいて、ドミノ問題の決定可能性がほとんど自由な群を特徴づけること。

提案手法

• Woessの結果を用いて、任意の有限生成でほとんど自由でない群が厚さの大きい端を持つことを示す。
• Halinの定理の拡張を適用し、非自明で、有限生成で、ねじれのない中心をもつ群のカイリー群に、半グリッド構造（ℕ×ℤに類似）を埋め込む。
• 局所的制約を満たし、ℤ²におけるタイル張りを模倣する再帰的ラベリングプロセスを用いて、群上に配置を構築する。
• このグリッドに類似した構造の存在を活用し、群におけるドミノ問題をℤ²における決定不能なドミノ問題へ還元する。
• ドミノ問題が有限指数部分群に関して不変であるという事実を用い、部分群から全体の群への決定不能性の転送を行う。
• 既知のモノディック第二階論理（MSO理論）に関する結果を適用し、ほとんどアーベルな場合におけるドミノ問題の決定可能性とほとんど自由性の関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成でほとんどアーベルな群において、ドミノ問題がいつ決定可能か？
• RQ2 群の中心に非自明で、有限生成で、ねじれのない部分群が存在する場合、群がほとんど自由でないならば、ドミノ問題は決定不能であると示唆されるか？
• RQ3 ℤ²におけるドミノ問題の決定不能性を、特定の構造的性質をもつ他の群におけるドミノ問題へ還元できるか？
• RQ4 群のカイリー群における厚さの大きい端構造を、グリッドを模倣し、決定不能性を誘発するためにどの程度利用できるか？
• RQ5 予想されているように、すべての有限生成群において、ほとんど自由性とドミノ問題の決定可能性の同値性は成り立つか？

主な発見

• 有限生成でほとんどアーベルな群において、ドミノ問題が決定可能であることと、群がほとんど自由であることとは同値である。
• 中心に非自明で、有限生成で、ねじれのない部分群を含む任意の有限生成群において、ドミノ問題が決定可能であることと、群がほとんど自由であることとは同値である。
• このような中心をもつほとんど自由でない群は、厚さの大きい端を持ち、そのカイリー群に半グリッド構造を構築できる。
• この半グリッド構造の存在により、群におけるドミノ問題をℤ²における決定不能なドミノ問題へ還元できる。
• ℤ²におけるドミノ問題の決定不能性は、すべてのこのようなほとんど自由でない群において決定不能性を示唆する。
• 本研究は、有限生成でほとんどアーベルな群のクラスにおいて、論文の予想を確認し、中心に構造的性質をもつ部分群を含むより広いクラスへ拡張した。