[論文レビュー] The Double Eulerian Polynomial and Inversion Tables

Erik Aas|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Visontaiの予想を、二変数母関数の恒等式を用いて証明する。二重Euler多項式（下降数および逆下降数で重みづけられた置換の母関数）は、上昇数および行統計量で重みづけられた逆転テーブルの母関数と等分布である。主な結果は、根付きラベル付き木による双対的証明であり、異なる組合せ的対象上でのこれらの統計量の直接的な組合せ的同値性を確立する。

ABSTRACT

We show that the pair (des, ides) of statistics on the set of permu- tations has the same distribution as the pair (asc, row) of statistics on the set of inversion tables, proving a conjecture of Visontai. The common generating function of these pairs is the double Eulerian polynomial.

研究の動機と目的

• 二重Euler多項式（下降数および逆下降数で重みづけられた置換の母関数）が、上昇数および行統計量で重みづけられた逆転テーブルの母関数と等しいことを証明すること。
• Visontaiが提起した、これらの二つの母関数の等分布性に関する予想を解決すること。
• Möbius逆転および置換と逆転テーブルの統計量の帰納的構成を用いて、根付きラベル付き木による双対的証明を提供すること。
• 古典的Euler多項式理論を拡張し、置換統計量と逆転テーブル統計量の間のより深い組合せ的関係を確立すること。

提案手法

• 二重Euler多項式を $ A_n(u,v) = \sum_{\pi \in \mathbb{S}_n} u^{\operatorname{des}(\pi)} v^{\operatorname{des}(\pi^{-1})} $ として定義し、古典的Euler多項式を一般化する。
• 逆転テーブル $ e \in \mathbb{I}_n $（$ 1 \leq e_i \leq i $ を満たす列）を導入し、二つの統計量を定義する：$ \operatorname{asc}(e) $ は上昇の数、$ \operatorname{row}(e) $ は集合 $ \{e_i : 1 \leq i \leq n\} \setminus \{1\} $ のサイズ。
• 長さが固定された部分集合 $ S \subseteq \mathbb{N} $ に属さない置換および逆転テーブルのノードを持つ根付きラベル付き木 $ T_{\mathbb{S}} $ と $ T_{\mathbb{I}} $ を構成し、辺は $ r+s \notin S $ を満たす最小の $ s $ を用いて列を拡張することで定義する。
• Möbius逆転を用いて、等分布性の主張を $ T_{\mathbb{S}} $ と $ T_{\mathbb{I}} $ の同型性の証明に還元し、各 $ S $ に対して、$ S \subseteq \operatorname{DES}(\pi) $ を満たす置換と $ S \subseteq \operatorname{ASC}(e) $ を満たす逆転テーブルの数が、逆下降数および行統計量で等分布することを示す。
• 非負整数の組 $ (x_0, \dots, x_r) $ を用いたパrametrizationにより、帰納的に置換から逆転テーブルへの双対写像 $ \Phi $ を構成し、長さおよびそれぞれの統計量を保存する。このパrametrizationは、後段の要素が前段の値の間に入る個数を符号化する。
• 既知の組合せ的恒等式を用いて、与えられた逆下降数をもつようなこのような組の数が、$ T^c \cap \operatorname{ROW}(e') $ に与えられた個数の要素を含む $ [r+s] $ の部分集合 $ T \subseteq [r+s] $ の個数に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重Euler多項式 $ A_n(u,v) $（下降数および逆下降数で重みづけられた置換の母関数）は、上昇数および行統計量で重みづけられた逆転テーブルの母関数と等分布するか？
• RQ2 Visontaiの予想、すなわち $ A_n(u,v) = \sum_{e \in \mathbb{I}_n} u^{\operatorname{asc}(e)} v^{\operatorname{row}(e)} $ は、組合せ的に証明可能か？
• RQ3 置換と逆転テーブルの間で、下降数および逆下降数の同時分布と上昇数および行統計量の同時分布を保存する双対的対応が存在するか？
• RQ4 この等分布性は、主指数や下降位置の和といった他の統計量へ拡張可能か？
• RQ5 逆転テーブル上での $ \operatorname{asc} $ と $ \operatorname{row} $ の等分布性は、置換側とは独立して直接的な組合せ的証明が可能か？

主な発見

• 二重Euler多項式 $ A_n(u,v) $ が、$ \sum_{e \in \mathbb{I}_n} u^{\operatorname{asc}(e)} v^{\operatorname{row}(e)} $ に等しいことが証明され、Visontaiの予想が確認された。
• 証明により、置換に基づく木と逆転テーブルに基づく木の間で同型性が確立され、$ \operatorname{des} $ と $ \operatorname{ides} $ がそれぞれ $ \operatorname{asc} $ と $ \operatorname{row} $ に保存される。
• 任意の $ S \subseteq [n-1] $ に対して、下降集合が $ S $ で逆下降数が $ k $ である置換の数は、$ S \subseteq \operatorname{ASC}(e) $ かつ $ \operatorname{row}(e) = k $ を満たす逆転テーブルの数に等しい。Möbius逆転を用いて証明された。
• 証明により、置換上での $ (\operatorname{maj}, \operatorname{ides}) $ の同時分布が、逆転テーブル上での $ (\operatorname{amaj}, \operatorname{row}) $ の同時分布と等分布であることが示された。ここで $ \operatorname{maj} $ は下降位置の和、$ \operatorname{amaj} $ は上昇位置の和である。
• 主な結果から、逆転テーブル上での $ \operatorname{asc} $ と $ \operatorname{row} $ の等分布性が示唆されるが、直接的な組合せ的証明はまだ知られていない。
• 証明で用いられた双対写像は、最終的な恒等式の対称性とは対照的に、$ u $ と $ v $ に関して対称ではない。これは、背後にある組合せ的構造に深いついの非対称性があることを示唆している。