[論文レビュー] The double Gromov-Witten invariants of Hirzebruch surfaces are piecewise polynomial

Federico Ardila, Erwan Brugallé|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、ヒルツェブルフ面に対する二重グロモフ・ウィトテン不変量を導入し、それらが曲線の交差プロファイルを符号化する変数に関して、区分的多項式関数であることを証明する。フロア図とエーリヒト理論を用いて、各多項式部の次数が $ n_2 + 3g + 2a - 2 $ であり、偶数または奇数であることが示され、二重ヒューリッツ数の区分的多項式性が、より高次元のシンプレクティックおよび代数的幾何の設定へ一般化される。

ABSTRACT

We define the double Gromov-Witten invariants of Hirzebruch surfaces in analogy with double Hurwitz numbers, and we prove that they satisfy a piecewise polynomiality property analogous to their 1-dimensional counterpart. Furthermore we show that each polynomial piece is either even or odd, and we compute its degree. Our methods combine floor diagrams and Ehrhart theory.

研究の動機と目的

• ヒルツェブルフ面に対する二重グロモフ・ウィトテン不変量を、二重ヒューリッツ数の高次元版として定義すること。
• これらの不変量に対して、二重ヒューリッツ数と類似する区分的多項式性の性質を確立すること。
• チャネル分解における各多項式部の次数と偶奇（偶数または奇数）を特定すること。
• この構造を用いて、2次元へのELSヴァ型公式の一般化の可能性を検討すること。

提案手法

• 不変量は、線形制約 $ \sum x_i + \sum y_j + ak = 0 $ を満たす格子 $ \Lambda \subset \mathbb{R}^{n_1} \times \mathbb{R}^{n_2} $ 上で定義される関数 $ F_{a,k,g}^{n_1,n_2}({\bf x},{\bf y}) $ として符号化される。
• チャネル構造は、部分集合 $ S \subseteq [n_1], T \subseteq [n_2], 0 \leq r \leq a $ に対して、超平面 $ \sum_{i \in S} x_i + \sum_{j \in T} y_j + k r = 0 $ と、等式 $ y_i = y_j $（$ i < j $）によって定義される。
• フロア図は、正則曲線をモデル化するために用いられ、頂点および辺の配置に関する重み付き和によって重みが計算される。
• エーリヒト理論が、これらの図に関連する多面体内の整数点の数を解析するために適用され、多項式不変量と結びつけられる。
• 各多項式部の次数は、図の組合せ的データ、特にグレーの頂点の数と辺の重みから導かれる。
• 各多項式部の偶奇（偶数または奇数）は、生成数 $ g $ とフロア図の重み分布構造によって決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルツェブルフ面の二重グロモフ・ウィトテン不変量は、交差プロファイル変数に関して区分的多項式的か？
• RQ2 これらの不変量のチャネル分解における各多項式部の次数は何か？
• RQ3 各多項式部は偶数または奇数であり、その偶奇は生成数と構造にどのように依存するか？
• RQ4 隣接するチャネル間の壁を越える挙動は、二重ヒューリッツ数の場合と類似して記述可能か？
• RQ5 本稿で用いられた手法は、他のトーリック面や、トロピカル・ウェルシュインガー不変量のような精錬された不変量へ拡張可能か？

主な発見

• 二重グロモフ・ウィトテン不変量 $ F_{a,k,g}^{n_1,n_2}({\bf x},{\bf y}) $ は、超平面配列 $ \sum_{i \in S} x_i + \sum_{j \in T} y_j + k r = 0 $ および $ y_i = y_j $（$ i < j $）によって定義されるチャネル構造に関して区分的多項式的である。
• 各多項式部の次数は $ n_2 + 3g + 2a - 2 $ であり、これは $ y $ 変数の数、生成数 $ g $、および二重次数 $ a $ に依存する。
• 各多項式部は偶数または奇数であり、その偶奇は生成数 $ g $ と一致する。これは重み分布関数 $ \Gamma_g(w) $ の挙動によって示される。
• 生成数 $ g = 0 $ の場合、重み分布関数は $ \Gamma_0(w) = w^2 $ であり、$ g = 1 $ の場合、$ \Gamma_1(w) = \frac{(w-1)w(w+1)(w^2+1)}{30} $ である。両者とも次数 $ 3g + 2 $ の多項式であり、$ g $ と同じ偶奇を持つ。
• 不変量は各グループ $ x_i $ および $ y_j $ 内の変数の再ラベル化に対して不変であり、与えられた線形制約の下で格子 $ \Lambda $ 上で適切に定義される。
• この構造から、2次元のELSヴァ型公式が存在する可能性が示唆され、明示的な小規模な例の表から、パラメータ $ k $ に関して不変量が多項式的に変化することがわかる。