[論文レビュー] The double obstacle problem on non divergence form

Luis F. Duque|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2つの障害関数が十分に滑らかで一様に分離されているという仮定の下で、非発散型の完全非線形楕円型および放物型作用素に対する二重障害問題の解の内部 $C^{1,\beta}$ 正則性を確立する。主な技術的アプローチは、障害関数との接触点における解の成長を分析することにあり、粘性解理論とコンパクト性の議論を用いて勾配のホルダー推定を得る。

ABSTRACT

We study the regularity of the solution of the double obstacle problem form for fully non linear parabolic and elliptic operators. We show that when the obstacles are sufficiently regular the solution is $C^{1,α}$ in the interior for both the parabolic and the elliptic cases.

研究の動機と目的

• 完全非線形楕円型および放物型作用素の非発散型形式に対する Kinderlehrer の単一障害問題に関する結果を二重障害問題に拡張すること。
• 障害関数が滑らかで一様に分離されている場合に、解の内部 $C^{1,\beta}$ 正則性を確立すること。
• 解が障害関数との接触点付近で示す挙動、特に障害関数から離れるに従っての解の成長率を分析すること。
• ペナルティ法を用いて、楕円型二重障害問題の解の存在および正則性を厳密に確立すること。
• 非発散型作用素に関する文献におけるギャップを埋めるために、既知の正則性結果を二障害問題の設定に拡張すること。

提案手法

• 非発散型形式における二重障害問題の解の定義と分析に粘性解理論を用いる。
• 超解の成長を制御するための $L^\theta_w$ の弱型推定（補題 4.1）の適用。
• 二重障害制約の $C^2$-滑らかな近似として $\beta_\rho$-関数を用いたペナルティ問題の構成。
• 完全非線形作用素のスケーリング性質を活用して、楕円性を保ちながら一様推定を得る。
• コンパクト性およびソボレフ埋め込みを用いてペナルティ列における極限に移行し、$C^{1,\beta}$ の極限解を得る。
• 接触集合 $E_1 = \{u = \phi_1\}$, $E_2 = \{u = \phi_2\}$ およびその補集合 $A = \{\phi_1 < u < \phi_2\}$ を用いた自由境界の分析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全非線形非発散型作用素の二重障害問題の解が $C^{1,\beta}$ 正則性を示す条件は何か？
• RQ2 解が二つの障害関数のいずれかと接触する点の近傍で、どのように成長するか？
• RQ3 非発散型形式の設定において、滑らかな障害関数に対して解の存在と正則性を確立できるか？
• RQ4 自由境界は解の正則性にどのような役割を果たすか？
• RQ5 完全非線形作用素のスケーリングおよびコンパクト性の性質は、正則性証明にどのように寄与するか？

主な発見

• 障害関数 $\phi_1$ と $\phi_2$ が滑らかで一様に分離されているとき、$Q_1$ の内部において二重障害問題の解 $u$ は $C^{1,\beta}$ である。
• 鍵となるステップは、接触点における $u$ の成長率を記述する成長推定（楕円型の場合は補題 4.4、放物型の場合は補題 5.6）の導出である。
• ペナルティ法により、元の問題の解に uniformly 収束する近似問題の解の列が正しく構成された。
• 極限解は粘性解の意味で二重障害問題を満たし、非接触領域 $\{\phi_1 < u < \phi_2\}$ では $F(D^2u) = 0$ であり、それぞれの接触領域では $F(D^2u) \leq 0$ または $\geq 0$ である。
• $W^{2,p}$ 推定およびソボレフ埋め込みにより、極限解は任意の $0 < \beta < 1$ に対して $C^{1,\beta}(B_1)$ に属する。
• 証明は、作用素 $F$ の楕円性およびスケーリング性に基づくペナルティ解の一様有界性に依存しており、これにより $C^{1,\beta}$ 解への収束が保証される。