[論文レビュー] The double of representations of Cohomological Hall Algebra for $A_1$-quiver

Xinli Xiao|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、安定な枠付き表現を介してグラスマンニアンのコホモロジーを用いて、$A_1$-クワイバーのコhomological Hall代数（COHA）の2つの表現を構成する。非捻り増加および非捻り減少表現が $D_{n+1}$-リー代数をなすことが示され、非捻り増加および捻り減少表現が有限クリフォード代数を生成することを確認し、$A_1$ の全COHAが無限クリフォード代数に同型であるという予想を裏付ける。

ABSTRACT

We compute two representations of COHA for $A_1$-quiver. The two untwisted representations can be combined into a representation of $D_{n+1}$ Lie algebra. The untwisted increasing representation and the twisted decreasing representation can be combined into a representation of a finite Clifford algebra.

研究の動機と目的

• 安定な枠付き表現を用いて、$A_1$-クワイバーのコホモロジカル・ホール代数（COHA）の2つの幾何的表現を定義すること。
• これらの表現を[9]で予想されたように、「二重」COHA構造に統合すること。
• 結合された作用素が $D_{n+1}$-リー代数および有限クリフォード代数をなすことを確認すること。
• 全COHAが無限クリフォード代数に同型であるという予想を確認すること。

提案手法

• クワイバーの安定な枠付き表現を介して、グラスマンニアンのコホモロジーを用いて$A_1$-COHAの2つの表現を構成する。
• プッシュフォワード・プルバック構成を用いて、グラスマンニアンのコホモロジー上に生成作用素と消滅作用素を定義する。
• 左部分微分を用いて標準的な消滅作用素を変更することで、捻り付き減少表現を導入する。
• 作用素が $D_{n+1}$-リー代数のセール関係を満たすことを確認する。
• 非捻り増加作用素と捻り付き減少作用素が有限クリフォード代数の定義関係を満たすことを検証する。
• 二重表現を用いて、全COHA構造が予想された無限クリフォード代数と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマンニアンのコホモロジーを用いて、$A_1$-COHAの2つの表現を幾何的に構成できるか？
• RQ2 非捻り増加および非捻り減少表現が $D_{n+1}$-リー代数に結合できるか？
• RQ3 増加表現と結合して有限クリフォード代数をなすような、減少表現の捻り付き版を定義できるか？
• RQ4 これらの表現の二重構造が、予想通りに全COHAを無限クリフォード代数として実現するか？

主な発見

• 非捻り増加および非捻り減少表現は、グラスマンニアンのコホモロジー上に $D_{n+1}$-リー代数構造を生成する。
• 左部分微分を用いて定義された捻り付き減少表現は、非捻り増加表現と結合して有限クリフォード代数を形成する。
• 作用素は $D_{n+1}$-リー代数のセール関係を満たしており、代数的構造が確認される。
• 非捻り増加および捻り付き減少作用素は、有限クリフォード代数の反交換関係を満たす。
• 結果は、$A_1$-クワイバーの全COHAが生成子 $\phi_n^\pm$ と中心的荷重 $c$ を持つ無限クリフォード代数に同型であるという予想を支持する。標準的な反交換関係が課される。
• 有限次元の場合、中心的荷重 $c$ はゼロに写像され、無限グラスマン代数およびその直交的リー代数表現が回復される。