[論文レビュー] The double shuffle relations for multiple Eisenstein series

Henrik Bachmann, Koji Tasaka|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、反復積分のホップ代数上のゴンチャロフコプロダクトと、多重エーゼルシュタイン級数のフーリエ展開を結びつけることで、多重エーゼルシュタイン級数に対する制限付き有限二重シャッフル関係を確立する。主な結果は、シャッフル積の生成関数写像によるコプロダクト作用が、多重エーゼルシュタイン級数のシャッフル積に対応することを示す明確な公式であり、この文脈における二重シャッフル関係の最初の非自明な実現を証明する。

ABSTRACT

We study the multiple Eisenstein series introduced by Gangl, Kaneko and Zagier. We give a proof of (restricted) finite double shuffle relations for multiple Eisenstein series by developing an explicit connection between the Fourier expansion of multiple Eisenstein series and the Goncharov coproduct on Hopf algebras of iterated integrals.

研究の動機と目的

• 多重ゼータ値の古典的二重シャッフル関係を一般化する、多重エーゼルシュタイン級数に対する有限二重シャッフル関係を確立すること。
• 収束しない項（例：$ G_{1,5} $）のためシャッフル積の公式が成立しないという課題を、正則化枠組みを導入することで解決すること。
• 多重エーゼルシュタイン級数のフーリエ展開と、反復積分のホップ代数上のゴンチャロフコプロダクトとの関係を明らかにし、級数の背後にある代数的構造を解明すること。
• シャッフル積の多重エーゼルシュタイン級数がコプロダクト作用によって実現可能であることを証明し、モジュラー形式への二重シャッフル枠組みの拡張を達成すること。

提案手法

• 本稿は、線形基底 $ \{I(n_1,\ldots,n_r)\} $ を持つ商ホップ代数 $ \mathcal{I}_{\bullet}^1 = \mathcal{I}_{\bullet}/\mathbb{I}(0;0;1)\mathcal{I}_{\bullet} $ を構成し、この空間上にゴンチャロフコプロダクト $ \Delta $ を定義する。
• 2つの $ \mathbb{Q} $-線形写像を導入する：$ \mathfrak{z}^{\cyr{sh}} $ は $ I(n_1,\ldots,n_r) $ をシャッフル積下での正則化多重ゼータ値へ写像し、$ \mathfrak{g} $ はフーリエ展開における多重除数和の生成関数へ写像する。
• 主な恒等式 $ (\mathfrak{z}^{\cyr{sh}} \otimes \mathfrak{g}) \circ \Delta(I(n_1,\ldots,n_r)) = G_{n_1,\ldots,n_r}(\tau) $ が導出され、コプロダクトとフーリエ展開を通じてエーゼルシュタイン級数に結びつく。
• 証明は、$ I(n_1,\ldots,n_r) $ のコプロダクト展開と $ G_{n_1,\ldots,n_r}(\tau) $ のフーリエ展開を比較することに依拠し、特に $ r=2 $ の場合に、$ \Delta(I(2,3)) = I(2,3)\otimes 1 + 3I(3)\otimes I(2) + 2I(2)\otimes I(3) + 1\otimes I(2,3) $ といった明示的公式を用いる。
• この枠組みは、収束性を保証する正則化版 $ G^{(L,M)}_w(\tau) $ を定義することで拡張され、調和積の公式の導出を可能にする。
• 制限付き有限二重シャッフル関係は、生成関数のシャッフル積と極限過程における調和積が一致することを示すことにより証明され、$ \sum_w c_w(w_1 \cyr{sh} w_2) G_w^{\cyr{sh}}(q) = \sum_w c_w(w_1 \ast w_2) G_w^{\cyr{sh}}(q) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ $ G_{1,5} $ のような項が発散するにもかかわらず、多重エーゼルシュタイン級数のシャッフル積構造を定義できるか？
• RQ2 多重エーゼルシュタイン級数のフーリエ展開の背後にある代数的構造は何か？ そして、これは多重ゼータ値理論における既知の対象とどのように関係するか？
• RQ3 反復積分のゴンチャロフコプロダクトを用いて、多重エーゼルシュタイン級数の一貫したシャッフル積を定義できるか？
• RQ4 多重ゼータ値の二重シャッフル関係は、多重エーゼルシュタイン級数のモジュラー設定へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 生成関数 $ G_w^{\cyr{sh}}(q) $ の間には $ \mathbb{Q} $-線形関係があるか？ また、各重みにおいて独立な関係はいくつ存在するか？

主な発見

• 本稿は、$ (\mathfrak{z}^{\cyr{sh}} \otimes \mathfrak{g}) \circ \Delta(I(n_1,\ldots,n_r)) = G_{n_1,\ldots,n_r}(\tau) $ を証明し、ゴンチャロフコプロダクトと多重エーゼルシュタイン級数のフーリエ展開との間の明確な代数的関係を確立する。
• 制限付き有限二重シャッフル関係が成立する：$ \sum_w c_w(w_1 \cyr{sh} w_2) G_w^{\cyr{sh}}(q) = \sum_w c_w(w_1 \ast w_2) G_w^{\cyr{sh}}(q) $ であり、これはモジュラー形式の文脈における二重シャッフル関係の最初の非自明な実現である。
• 重み $ N=4 $ において、1つの線形関係 $ G^{\cyr{sh}}_4(q) - 4G^{\cyr{sh}}_{1,3}(q) = 0 $ が得られ、$ y_2 \ast y_2 - y_2 \cyr{sh} y_2 $ から生じる。この結果は、本手法の有効性を示している。
• 正規化された $ \widetilde{G}^{\cyr{sh}} $ の重み $ N $ で張られる $ \mathbb{Q} $-ベクトル空間 $ \mathcal{E}_N $ の次元は、$ N=7 $ までに $ 1,2,3,6,10,18 $ と増加すると予想され、独立な関係の数は重みとともに増加する。
• 二重シャッフル関係に由来する独立な $ \mathbb{Q} $-線形関係の数は、$ N=4 $ で1、$ N=5 $ で1、$ N=6 $ で3、$ N=7 $ で5、$ N=8 $ で11である。これは、$ N \geq 5 $ ではこれらの関係がすべての可能な依存関係を捉えていないことを示唆する。
• $ \mathbb{Q} $-代数 $ \mathcal{E} $ は、$ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ のクェーシーモジュラー形式の環を含み、微分 $ qd/dq $ に関して安定である可能性があり、これにより新たな $ \mathbb{Q} $-線形関係が多重ゼータ値の間で得られる可能性がある。