[論文レビュー] The doublet of Dirac fermions in the field of the non-Abelian monopole, isotopic chiral symmetry, and parity selection rules

В. М. Редьков|ArXiv.org|Jan 7, 1999

Gyrotron and Vacuum Electronics Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アーベルでないモノポール場内のディラックフェルミオンダブルットの量子力学的挙動を調査し、複素数パラメータでパrameter化されたユニタリ変換から生じる新しいアイソトープ的キラリティ対称性を明らかにする。主な貢献は、一般化されたパリティ演算子 N(A) の導入であり、これにより N(A)-パリティ選択則が得られる。基底関数は非ユニタリ行列 F(A) によって関連づけられ、複素数 A に対して自己随伴性が破れるが、非直交性を示すにもかかわらずヒルベルト空間の構造は保たれる。

ABSTRACT

The paper concerns a problem of the Dirac fermion doublet in the external monopole potential obtained by embedding the Abelian monopole solution in the non-Abelian scheme. In this case, the doublet-monopole Hamiltonian is invariant under operations consisting of a complex and one parametric Abelian subgroup in S0(3.C). This symmetry results in a certain freedom in choosing a discrete operator N(A) (A is a complex number) entering the complete set of quantum variables. The same complex number A represents an additional parameter at the basis functions. The generalized inversion like operator N(A) affords certain generalized N(A)-parity selection rules. All the different sets of basis functions Psi(A) determine the same Hilbert space. The functions Psi(A) decompose into linear combinations of Psi(A=0): Psi(A) = F(A) Psi(A=0). However, the bases considered turn out to be nonorthogonal ones when A is a complex number; the latter correlates with the non-self-conjugacy of the N(A) at complex A-s. The meaning of possibility to violate the quantum-mechanical regulation on self-conjugacy as regards the operator N(A) is discussed. Also, the problem of possible physical status for the matrix F(A) at real A-s is considered in full detail: since the matrix belongs formally to the gauge group SU(2), but being a symmetry for the Hamiltonian this F(A) generates linear transformations on basis wave functions.

研究の動機と目的

• アーベルモノポールを SU(2) ゲージ構造に埋め込んだ非アーベルモノポールポテンシャルにおけるディラックフェルミオンダブルットの量子力学的ダイナミクスを分析すること。
• SO(3,C) 内の複素数パラメータでパrameter化されたアーベル部分群が、ダブルット-モノポールハミルトニアンの対称性として果たす役割を調査すること。
• 一般化された逆転に類似した演算子 N(A) が量子選択則およびヒルベルト空間の構造に与える影響を調査すること。
• 基底関数を関連付ける行列 F(A) の物理的性質と変換性を明確にすること。特に、複素数 A に対して自己随伴性が破れる理由を明らかにすること。
• A が複素数のときの基底関数の非直交性と、それに伴う N(A) の標準的自己随伴性要件の破れの結果を検討すること。

提案手法

• アーベルディラックモノポールを SU(2) に埋め込んだ非アーベルモノポールポテンシャルを用いて、ダブルット-モノポールハミルトニアンを構築する。
• 複素数パrameter A を導入し、SO(3,C) の一意パラメータ族アーベル部分群を定義する。この部分群はハミルトニアンを不変に保ち、隠れたアイソトープ的キラリティ対称性を示す。
• 一般化されたパリティ演算子 N(A) を、複素数パラメータ A に依存する離散的対称操作として定義し、N(A)-パリティ選択則を導く。
• 基底関数 Ψ(A) は A=0 の基底を用いて Ψ(A) = F(A)Ψ(A=0) と行列変換で関連づけられる。F(A) は実数 A に対してユニタリであるが、複素数 A に対しては非ユニタリである。
• A が複素数のときの基底 Ψ(A) の非直交性が、N(A) の非自己随伴性と相関しており、標準的量子力学的自己随伴性条件を破る。
• F(A) の形式的群論的構造を分析し、SU(2) に属することを示すが、これは基底関数への線形変換として作用するものであり、ゲージ変換ではない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベルモノポールを SU(2) の非アーベルゲージ構造に埋め込むことは、ディラックフェルミオンダブルットの対称性にどのように影響を与えるか？
• RQ2 一般化されたパリティ演算子 N(A) を定義する複素数パラメータ A の物理的・数学的意義は何か？
• RQ3 A が複素数のとき、なぜ N(A) は自己随伴でなくなるのか？その結果、量子選択則にどのような影響を与えるか？
• RQ4 A が実数のときはユニタリだが、複素数のときは非ユニタリである行列 F(A) によって基底関数 Ψ(A) がどのように関連づけられるのか？これによりヒルベルト空間構造にどのような意味が生じるか？
• RQ5 F(A) が形式的には SU(2) に属するが、ゲージ対称性ではなく波動関数基底への線形変換として作用する場合、その物理的解釈は何か？

主な発見

• ダブルット-モノポールハミルトニアンは、SO(3,C) の複素数パラメータでパrameter化されたアーベル部分群に対するアイソトープ的キラリティ対称性を示し、等価な基底表現の連続族を生成する。
• 一般化されたパリティ演算子 N(A) は複素数パラメータ A に依存し、標準パリティ選択則とは異なる N(A)-パリティ選択則を導く。
• A が複素数のとき、基底関数 Ψ(A) は非直交的であり、これは N(A) の非自己随伴性と相関しており、標準的量子力学的自己随伴性条件を破る。
• 変換行列 F(A) はすべての基底 Ψ(A) を A=0 の基底に Ψ(A) = F(A)Ψ(A=0) で関連づけ、F(A) は形式的には SU(2) に属するが、ゲージ変換ではなく線形変換として作用する。
• 非直交性および非自己随伴性にもかかわらず、すべての基底 Ψ(A) は同じヒルベルト空間を張り、物理的状態の記述は保たれる。
• 本稿は、複素数 A における N(A) の自己随伴性の破れが物理的に意味を持つものであり、単なる数学的アーティファクトではないと結論づけ、非アーベルモノポールを有する量子系における一般化された対称性の深い役割を示唆する。