[論文レビュー] The dual optimizer for the growth-optimal portfolio under transaction costs

Stefan Gerhold, Johannes Muhle‐Karbe+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、ブラック・ショールズ・モデルにおける比例取引コスト下での成長最適ポートフォリオのための二重最適化子を導入し、シャドウプライス枠組みを用いて、非取引領域および最適成長率の分数級テイラー展開を明示的に計算する。主な貢献は、根の特定問題を解くことまでで明示的な閉形式表現が得られるシャドウプライスの表現であり、取引コストλの小さな場合の漸近展開を可能にする。

ABSTRACT

We consider the maximization of the long-term growth rate in the Black-Scholes model under proportional transaction costs as in Taksar, Klass and Assaf [Math. Oper. Res. 13, 1988]. Similarly as in Kallsen and Muhle-Karbe [Ann. Appl. Probab., 20, 2010] for optimal consumption over an infinite horizon, we tackle this problem by determining a shadow price, which is the solution of the dual problem. It can be calculated explicitly up to determining the root of a deterministic function. This in turn allows to explicitly compute fractional Taylor expansions, both for the no-trade region of the optimal strategy and for the optimal growth rate.

研究の動機と目的

• 比例取引コスト下でのブラック・ショールズ・モデルにおける長期的成長率最大化問題を解く。
• 無限時間消費問題に既に用いられていたシャドウプライス手法を、対数効用関数を用いた終端資産最大化問題へと拡張する。
• 小さな取引コストλの関数として、非取引領域および最適成長率の明示的漸近展開を導出する。
• シャドウプライスと非対称なBid-Askスプレッドにおける非対称性にもかかわらず、非対称な非取引領域との間の関係を確立する。
• 取引コスト下での最適戦略および成長率を近似する計算的に取り扱いやすい方法を提供する。

提案手法

• アスク価格Sおよびバイド価格(1−λ)Sを用いたBid-Askスプレッドモデルを用いて、比例取引コスト下での成長最適ポートフォリオ問題を定式化する。
• バイド価格とアスク価格の間にあるシャドウプライスŜを導入し、双対問題の最適性条件を満たす。
• 関数f(c) = 0を解くことで、決定論的根の特定問題までに限定して、シャドウプライスを明示的に導出する。
• シャドウプライスを用いて、非取引領域および最適成長率のλ^{1/3}、λ^{2/3}などの累乗における分数級テイラー展開を計算する。
• 漸近解析および円柱代数的分解（CAD）を用いて、展開における重要なパラメータの一意性および正の性質を証明する。
• シャドウプライスに基づく非取引領域は対称的であるが、中央価格またはアスク価格に基づく非取引領域はO(λ^{2/3})までしか対称的でない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 比例取引コスト下でのブラック・ショールズ・モデルにおける成長最適ポートフォリオは、シャドウプライスによって特徴付けられるか？
• RQ2 取引コストλ → 0のとき、非取引領域および最適成長率はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 シャドウプライスの構造は何か？ また、根の特定問題を解くことまでで明示的に計算できるか？
• RQ4 なぜシャドウプライスに基づく非取引領域は対称的であるが、中央価格やアスク価格に基づくものではないのか？
• RQ5 λ^{1/3}、λ^{2/3}などの累乗における分数級テイラー展開を、最適戦略および成長率について導出できるか？

主な発見

• 関数f(c) = 0の根を解くことまでで、シャドウプライスŜは明示的に計算可能である。
• 非取引領域および最適成長率は、λ^{1/3}、λ^{2/3}などの累乗における分数級テイラー展開を有し、シャドウプライス枠組みでは対称的である。
• シャドウプライスに基づく非取引領域は対称的であるが、中央価格やアスク価格に基づく非取引領域はO(λ^{2/3})までしか対称的でない。
• すべてのθ ∈ (0,1) ∪ (1,∞)に対して、f(c) = 0の根は存在し一意であり、中間値定理および単調性の議論により得られる。
• 関数f(c)は臨界点c1以降で厳密に増加するため、根の一意性が保証され、解析は高次導関数の符号分析に円柱代数的分解（CAD）を用いる。
• 成長率の展開は、摩擦なしの成長率に対する一次補正項がλ^{2/3}のオーダーであることを示しており、取引コスト文脈における既知の漸近的結果と整合的である。