[論文レビュー] The DUNE-DPG library for solving PDEs with Discontinuous Petrov--Galerkin finite elements

Felix Gruber, Angela Klewinghaus+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非連続ガレルキン法（DPG）を用いた偏微分方程式（PDE）の解法を目的とした、Dune有限要素フレームワーク上に構築された柔軟なC++ライブラリ、Dune-DPGを提案する。最適および近似的に最適な試験関数空間を用いることで、安定かつインフラ・スタブルな変分形式を実現し、ロバストな後験的誤差推定と適応型メッシュ・リファインメントの能力を備える。線形収束と信頼性の高い誤差指標を示す、輸送問題における妥当性の検証が行われた。

ABSTRACT

In the numerical solution of partial differential equations (PDEs), a central question is the one of building variational formulations that are inf-sup stable not only at the infinite-dimensional level, but also at the finite-dimensional one. These properties are important since they represent the rigorous foundations for a posteriori error control and the development of adaptive strategies. The essential difficulty lies in finding systematic procedures to build variational formulations for which these desirable stability properties are (i) provable at the theoretical level while (ii) the approach remains implementable in practice and (iii) its computational complexity does not explode with the problem size. In this framework, the so-called Discontinuous Petrov–Galerkin (DPG) concept seems a promising approach to enlarge the scope of problems beyond second order elliptic PDEs for which this is possible. In the context of DPG, the result for the elliptic case was proven by Gopalakrishnan and Qiu [2014] and requires a p-enriched test space. Recently, the same type of result has been proven by Broersen et al. [2015] for certain classes of linear transport problems using an appropriate hp-enrichment to build the finite dimensional test space. In the light of this new result, we present Dune-DPG, a C++ library which allows to implement the test spaces introduced in Broersen et al. [2015]. The library is built upon the multi-purpose finite element package Dune (see Blatt et al. [2016]). In this paper, we present the current version 0.2 of Dune-DPG which has so far been tested only for elliptic and transport problems. An example of use via a simple transport equation is described. We conclude outlining future work and applications to more complex problems. Dune-DPG is licensed under the GPL 2 with runtime exception and a source code tarball is available together with this paper.

研究の動機と目的

• 非連続ガレルキン（DPG）法を用いたPDEの解法を目的とした、柔軟でモジュラーなC++ライブラリの開発。
• 局所的な問題の解法により、近似的に最適な試験関数空間を構築することで、離散的インフラ・スタビリティを確保する。
• 輸送支配型問題のような困難なPDEにおいても、適応型メッシュリファインメントを可能にするロバストな後験的誤差推定を実現する。
• 古典的楕円型問題にとどまらず、対流拡散問題や最適制御問題を含む広範なPDEの取り扱いを可能にする。
• DuneのTypeTreeとの統合を含む、現代的なC++構文を用いることで、特にベクトル値問題において、コードの保守性と使いやすさを向上させる。

提案手法

• 高モジュラリティと低レベル制御を実現するため、Dune有限要素フレームワークを基盤として活用する。
• サブグリッド上で局所的解法を実行し、近似的に最適な試験関数を構築することで、DPG法を実装し、離散的インフラ・スタビリティを保証する。
• 試験空間Vに積構造を導入し、セル単位の残差のリーマン作用素の効率的計算を可能にする。
• 複数の試験基底関数間で係数をキャッシュ・再利用するTestspaceCoefficientMatrixクラスを採用し、計算効率を向上させる。
• Riesz作用素を有限次元探索空間VK上に射影することで、後験的誤差推定を実装し、ErrorToolsクラスを用いて計算する。
• 後験的推定器から導出される局所誤差指標に基づいた、適応型リファインメントを支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような設計手法を用いることで、広範なPDEクラスに対して離散的インフラ・スタビリティを体系的かつ一貫して保証できるか？
• RQ2 非滑らかな解を有する輸送支配型問題において、近似的に最適な試験空間を用いたDPG法の性能はどの程度か？
• RQ3 折れ線を有する解を有する問題において、DPGの後験的誤差推定器はL2ノルムにおける真の誤差を的確に反映できるか？
• RQ4 試験空間のリファインメント（サブグリッドレベル）の選択が、誤差推定器の精度および信頼性にどのように影響するか？
• RQ5 現代的なC++抽象化機構を用いることで、複雑なPDEのための有限要素ソフトウェアにおける保守性とパフォーマンスは、どの程度向上するか？

主な発見

• 純粋な輸送問題における解ϕのL2誤差について、メッシュサイズHの減少に伴い線形収束を達成しており、試験空間で用いられた多項式次数1と整合的である。
• 後験的誤差推定器∥R(uH, f)∥Vは、Hの減少に伴いやや信頼性が低下し、ϕだけでなくθの誤差も徐々に捉えるようになる傾向を示している。
• 異なる試験空間リファインメントレベル（h = 2−ℓH）においても、誤差推定器の品質は安定しており、誤差挙動にほとんど影響を及ぼさない。
• 誤差推定器は、次数5の多項式空間への射影によって計算され、適応型リファインメントに適した信頼性の高い局所誤差指標を提供する。
• ライブラリのモジュラー設計により、複数の基底関数間で試験空間係数を再利用でき、計算効率が顕著に向上する。
• 将来のDune-TypeTreeおよびC++11構文への移行により、保守性の向上、コンパイル時間の短縮、ベクトル値問題への対応強化が期待される。