[論文レビュー] The Dynamical Degrees of a Mapping

Eric Bedford|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、複素多様体上の有理写像の不変量としての動的次数 δₚ を導入し、反復された次数の指数的増加率を通じて動的複雑性を測る役割に注目して分析する。単項式写像に対しては、p番目の動的次数 δₚ が関連行列の p 個の最大固有値の積に等しくなることが確立され、さらに、ケーラー多様体の自己同型写像において、最大の動的次数が 1 を超える場合、それは無理数でなければならないことが証明されている。

ABSTRACT

Let f be a rational mapping of a space X . The complexity of (f,X) as a dynamical system is measured by the dynamical degrees $δ_p(f)$, $1\le p\le { m dim}(X)$. We give the definition of the dynamical degrees show how they are computed in certain cases. For instance, we show that if the dynamical degree of an automorphism of a Kähler manifold is greater than one, then it must be irrational.

研究の動機と目的

• 複素代数的多様体 X 上の有理写像 f:X→X に対して、動的次数 δₚ(f) の定義と形式化を行う。
• 動的次数が双有理同型写像の下で不変であり、動的複雑性を測る役割を確立する。
• 定義行列の外積を用いて、単項式写像に対して動的次数を明示的に計算する。
• ケーラー多様体の自己同型写像に対して、δ₁(f) > 1 ならば δ₁(f) は無理数であることを証明する。
• 動的次数とコホロジー上での引き戻し写像 f* のスペクトル半径、およびトポロジカルエントロピーとの関係を明確にする。

提案手法

• 写像 fⁿ の次数の極限 limₙ→∞ deg(fⁿ)¹ᐟⁿ として動的次数 δ(f) を定義し、これは共役写像に対して不変である。
• コホロジー群 H¹¹(X) または Pic(X) 上での引き戻し作用 f* を用いて、δ(f) を作用素ノルムにより定義する。
• 整数行列 A によって定義される単項式写像 f_A に対して、A の p 階外積 ⋀ᵖA を用いて δₚ(f_A) を計算する。
• ⋀ᵖA のスペクトル的性質を用いて、δₚ(f_A) が A の p 個の最大固有値の積に等しいことを示す。
• ケーラー多様体に理論を適用し、代数的整数と単位根を用いた背理法により、δ₁ > 1 ならば δ₁ が無理数であることを証明する。
• 吹き上げなどの双有理幾何を用いて特異点を解消し、コンパact化上での写像の定義を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理写像 f:X→X の動的次数 δ(f) とは何か？ そして反復の複雑性をどのように測るのか？
• RQ2 双有理同型写像の下で動的次数はどのように振る舞い、なぜ不変なのか？
• RQ3 行列 A に関連する単項式写像 f_A に対して、p 番目の動的次数 δₚ(f_A) の正確な値は何か？
• RQ4 ケーラー多様体の自己同型写像において、δ₁(f) > 1 ならばなぜ δ₁(f) が無理数でなければならないのか？
• RQ5 動的次数は、コホロジー上での引き戻し写像 f* のスペクトル半径とどのように関係しているのか？

主な発見

• C² 上の多項式自己同型写像で δ(f) > 1 であるものについては、一般化されたヘノン写像の合成に共役され、δ(f) は整数である。
• 動的次数 δ(f) は共役写像に対して不変であり、(fⁿ)* = (f*)ⁿ が成り立つとき、H¹¹(X) 上での f* のスペクトル半径に等しい。
• 単項式写像 f_A に対して、p 番目の動的次数 δₚ(f_A) は、行列 A の p 個の最大固有値の積に等しい。
• ケーラー多様体の自己同型写像において、δ₁(f) > 1 ならば δ₁(f) は無理数でなければならない。
• トポロジカルエントロピー h_top(f) は log(max δₚ(f)) によって上から抑えられ、f が正則写像であるとき等号が成り立つ。
• 動的次数 δₚ(f) は代数的整数である。これは、コホロジー上での整数行列の作用のスペクトル半径として生じるからである。