[論文レビュー] The dynamics around stable and unstable Hamiltonian relative equilibria

Juan Pablo Wert Ortega, Tudor S. Raţiu|ArXiv.org|Jul 13, 2000

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Lusternik–Schnirelmanカテゴリー理論と正規形還元を用いて、安定および形式的に不安定な対称ハミルトニアン平衡点の近傍における相対的平衡点の数の下界を確立する。非退化性の仮定を避け、シンプレクティック還元と再構成方程式を用いてエネルギーパrameter化された分岐推定を提供し、商空間の位相的不変量を用いた明示的な下界を得る。

ABSTRACT

For a symmetric Hamiltonian system, lower bounds for the number of relative equilibria surrounding stable and formally unstable relative equilibria on nearby energy levels are given.

研究の動機と目的

• 非退化性条件を要しない、安定および形式的に不安定な対称ハミルトニアン平衡点の周囲の相対的平衡点の数に対する下界を導出すること。
• 運動量ではなくエネルギーで解をパラメータ化することにより、真の分岐現象への恒久的結果の一般化。
• 正規形理論と再構成方程式を用いて、平衡点から相対的平衡点への存在結果の拡張。
• 商空間のLusternik–Schnirelmanカテゴリーのような位相的不変量に基づく計算可能な推定を提供すること。
• エネルギー面における解析を通じて、対称ハミルトニアン系の分岐理論における以前の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• G不変関数の臨界軌道の数を、商空間 M/G におけるLusternik–Schnirelmanカテゴリーを用いて評価する。
• Lyapunov–Schmidt還元と勾配系分岐技術を用いて、形式的に不安定な平衡点を分析する。
• Marle–Guillemin–Sternberg定理を用いて正規形を構成し、力学をシンプレクティック正規空間 Vm に還元する。
• 再構成方程式を用いて、Vm 上の H-不変解を元の多様体上の G-相対的平衡点に持ち上げる。
• 拡張ハミルトニアン hξ = h − Jξ を定義し、その臨界点を分析して相対的平衡点を同定する。
• Hη-固定部分空間と球面 S^{l−1} 上のMorse–Bott条件を用いて、Hη-異なる相対的平衡点の数を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定な対称ハミルトニアン平衡点の近傍に、最小で何個の相対的平衡点が出現しうるか？
• RQ2 非退化性仮定を課さずに、形式的に不安定な平衡点から分岐する相対的平衡点の数をどのように推定できるか？
• RQ3 商空間 M/G の位相が、異なる相対的平衡点の数にどのように寄与するか？
• RQ4 正規形と再構成方程式は、Vm 上の局所的力学を、G-相対的平衡点としてのグローバル解にどのように持ち上げるか？
• RQ5 Q^{-1}(ε)/Hη のLusternik–Schnirelmanカテゴリーが、Hη-異なる相対的平衡点の数に対して鋭い下界を提供する条件は何か？

主な発見

• 安定な対称ハミルトニアン平衡点に対しては、十分に小さな ε > 0 に対して、少なくとも Cat(Q^{-1}(ε)/H_Phξ) 個の H_Phξ-異なる相対的平衡点がその近傍に存在する。
• 形式的に不安定な平衡点に対しては、定理4.1がエネルギーでパラメータ化された相対的平衡点の分岐枝の存在を保証し、その数は商空間のLusternik–Schnirelmanカテゴリーによって下から抑えられる。
• 定理7.3は、これら結果を相対的平衡点に一般化し、各小さな ε に対して、h^{-1}(ε) 内に少なくとも Cat(Q^{-1}(ε)/Hη) 個の Hη-異なる相対的平衡点が存在することを示している。
• 固定部分空間 (V0)^{Tη} = {0} を持つ最大トーラス Tη を含む同相型部分群 Hη の場合、下界は dim V0 / (2(1 + dim Hη − dim Tη)) に改善される。
• 特定の仮定を満たす速度が存在する限り、非退化性条件がなくても複数の相対的平衡点の存在が保証される。
• 結果は対称性還元に対して安定であり、標準の恒久的定理が退化のために失敗する系にも適用可能である。