[論文レビュー] The dynamics of a class of quasi-periodic Schrödinger cocycles

Kristian Bjerklöv|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2013

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、大きな結合定数と2つの臨界点をもつモース関数を有する準周期的シュレーディンガー・コセイルの力学的挙動を分析し、エネルギーに依存しない一様な下界 $\gtrsim \log\lambda$ を有するリャプノフ指数が成り立つことを確立するとともに、関連する斜交積写像が正確に2つのエルゴード測度を持つことを証明している。さらに、スペクトルから開いたギャップの端を除いた部分において、力学的系が最小的であることを示し、ほぼマシュー作用素への応用を含む。

ABSTRACT

Let $f:\mathbb{T} o\mathbb{R}$ be a Morse function of class $C^2$ with exactly two critical points, let $ω\in\mathbb{T}$ be Diophantine, and let $λ>0$ be sufficiently large (depending on $f$ and $ω$). For any value of the parameter $E\in \mathbb{R}$ we make a careful analysis of the dynamics of the skew-product map $$Φ_E(θ,r)=\left(θ+ω,λf(θ)-E-1/r ight),$$ acting on the "torus" $\mathbb{T} imes\widehat{\mathbb{R}}$. The map $Φ_E$ is intimately related to the quasi-periodic Schrödinger cocycle $(ω,A_E): \mathbb{T} imes \mathbb{R}^2 o \mathbb{T} imes \mathbb{R}^2$, $(θ,x)\mapsto (θ+ω, A_E(θ)\cdot x)$, where $A_E:\mathbb{T} o ext{SL}(2,\mathbb{R})$ is given by $A_{E}(θ)=\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & λf(θ)-E \end{matrix} ight), \quad E\in \mathbb{R}. $ More precisely, $(ω,A_E)$ naturally acts on the space $\mathbb{T} imes\widehat{\mathbb{R}}$, and $Φ_E$ is the map thus obtained. The analysis of $Φ_E$ allows us to derive three main results: (1) The (maximal) Lyapunov exponent of the Schrödinger cocycle $(ω,A_E)$ is $\gtrsim \log λ$, uniformly in $E\in \mathbb{R}$. This implies that the map $Φ_E$ has exactly two ergodic probability measures for all $E\in \mathbb{R}$; (2) If $E$ is on the edge of an open gap in the spectrum $σ(H)$ of the associated Schrödinger operator $H_θ$, then there exist a phase $θ\in\mathbb{T}$ and a vector $u\in l^2(\mathbb{Z})$, exponentially decaying at $\pm\infty$, such that $H_θu=Eu$; (3) The map $Φ_E$ is minimal iff $E\in σ(H)\setminus\{ ext{edges of open gaps}\}$. In particular, $Φ_E$ is minimal for all $E$ for which the fibered rotation number $α(E)$ associated to $(ω,A_E)$ is irrational with respect to $ω$.

研究の動機と目的

• 結合定数 $\lambda$ が大きく、ポテンシャルが2つの臨界点をもつ $C^2$ モース関数である場合の、準周期的シュレーディンガー・コセイルの力学的挙動を理解すること。
• すべてのエネルギー $E\in\mathbb{R}$ に対して、関連する斜交積写像 $\Phi_E$ がもつエルゴード確率測度の数を特定すること。
• シュレーディンガー作用素 $H_\theta$ のスペクトル構造と関連して、写像 $\Phi_E$ の最小性を特定すること。
• スペクトルの開いたギャップの端において、固有値方程式 $H_\theta u = Eu$ が指数関数的に減衰する解をもつ条件を確立すること。

提案手法

• シュレーディンガー・コセイル $(\omega, A_E)$ から導かれる写像 $\Phi_E(\theta,r) = (\theta+\omega, \lambda f(\theta) - E - 1/r)$ を用いた、$\mathbb{T} \times \widehat{\mathbb{R}}$ 上の斜交積写像の分析。
• コセイルの力学的挙動を研究するための射影空間 $\widehat{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ の使用。
• ディオファントス的周波数 $\omega$ および大きな $\lambda$ の下で、リャプノフ指数およびスペクトル的性質を解析するためのKAM型および摂動的技法の適用。
• 写像 $\Phi_E$ の最小性を特徴付けるために、$\omega$ に対して無理数である場合の繊維付き回転数 $\alpha(E)$ の使用。
• 臨界点近傍における力学的挙動を制御するためのポテンシャル $f$ 及びその微分の明示的推定の構築。
• $g$, $h$, $s$ の有界性を用いて、$\psi = s + w = \lambda f(\theta) - E - 1/r$ 及びその微分の挙動の分析に問題を還元すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合定数 $\lambda$ が大きく、$f$ が2つの臨界点をもつモース関数であるとき、シュレーディンガー・コセイル $(\omega, A_E)$ のリャプノフ指数 $\gamma(E)$ の挙動はいかなるものか？
• RQ2 与えられた条件下で、すべての $E \in \mathbb{R}$ に対して、斜交積写像 $\Phi_E$ がもつエルゴード確率測度の数はいくつか？
• RQ3 写像 $\Phi_E$ が最小的であるためのスペクトル的条件は何か？
• RQ4 固有値方程式 $H_\theta u = Eu$ が、$\sigma(H)$ の開いたギャップの端において指数関数的に減衰する解をもつのはどのようなときか？
• RQ5 繊維付き回転数 $\alpha(E)$ は、写像 $\Phi_E$ の最小性とどのように関係するか？

主な発見

• 最大リャプノフ指数 $\gamma(E)$ は、すべての $E \in \mathbb{R}$ に対して一様に $\gamma(E) \gtrsim \log\lambda$ を満たし、強い双曲性を示す。
• 結合定数が大きく、$f$ の構造のおかげで、写像 $\Phi_E$ はすべての $E \in \mathbb{R}$ に対して正確に2つのエルゴード確率測度を持つ。
• エネルギー $E$ がスペクトル $\sigma(H)$ の開いたギャップの端にあるとき、ある位相 $\theta$ と $l^2(\mathbb{Z})$ に属する解 $u$ が存在し、$H_\theta u = Eu$ を満たし、$\pm\infty$ で指数関数的に減衰する。
• 写像 $\Phi_E$ が最小的であるための必要十分条件は、$E \in \sigma(H) \setminus \{\text{開いたギャップの端}\}$ であることである。これは、$\alpha(E)$ が $\omega$ に対して無理数であるすべての $E$ を含む。
• 結果は、$f(\theta) = \cos(2\pi\theta)$ を満たすほぼマシュー作用素にも適用可能であり、$f$ が要求される条件を満たす。
• スペクトル $\sigma(H)$ はカントール集合であり、シナイトの結果により、ほとんどすべての $\theta \in \mathbb{T}$ に対して $H_\theta$ は純粋点スペクトルをもち、固有関数は指数関数的に減衰する。