[論文レビュー] The Dynamics of the Linear Random Farmer Model

Rui Carvalho|ArXiv.org|Jul 6, 2001

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、各エージェントに固定された取引確率 $ p $ を割り当てることで、線形ファーマー・モデルの確率的拡張を導入し、価格投資家しか存在しない状況でも内生的に肥大尾分布とボラティリティクラスタリングを生じさせることを示している。臨界的（リャプノフ指数が0）な点では、解析的に導出された尾指数を有するパワー・ラウの尾分布を示すリターンが生成され、市場マイクロ構造のダイナミクスそのものによって、外部ノイズや戦略の非一様性を前提とせず、ファイナンスのスタイリズド・ファクトを生じさせうることを示している。

ABSTRACT

On the framework of the Linear Farmer's Model, we approach the indeterminacy of agents' behaviour by associating with each agent an unconditional probability for her to be active at each time step. We show that Pareto tailed returns can appear even if value investors are the only strategies on the market and give a procedure for the determination of the tail exponent. Numerical results indicate that the returns' distribution is heavy tailed and volatility is clustered if trading occurs at the zero Lyapunov (critical) point.

研究の動機と目的

• 線形ファーマー・モデルにおけるエージェント行動の不確実性を解消するために、各エージェントに無条件の取引確率 $ p^{(i)} $ を導入すること。
• 価格投資家のみで構成される市場において、肥大尾分布のリターン分布およびボラティリティクラスタリングが内生的に生じるかどうかを調査すること。
• ランダム力学系の枠組みを用いて、リターン分布の尾指数を特定すること。
• リャプノフ指数が0（臨界点）となる際のシステムの挙動を分析し、間歇的現象および肥大尾の発生に起因する力学的特徴を解明すること。

提案手法

• 各エージェントに、各時刻ステップで活動する無条件確率 $ p $ を割り当て、取引参加の確率的ダイナミクスをモデル化する。
• 線形確率的再帰関係 $ r_n = \sum_{k=1}^n \left( \prod_{j=k+1}^n -\alpha_j \right) \alpha_k \eta_k + \left( \prod_{j=1}^n -\alpha_j \right) r_0 $ を用いて資本ダイナミクスをモデル化し、$ \alpha_j $ を戦略重みとして定義する。
• 二項モーメント $ M^{(k)}(0) $ を用いて活動エージェントの分布を特徴付け、システムのモーメント収束の条件を導出する。
• ヒル推定量および代替ヒルプロットを用いて、シミュレーションデータからリターン分布の尾指数を推定する。
• リャプノフ指数が0（臨界点）である場合、システムはオンオフ間歇的現象を示し、これにより肥大尾分布のリターンが生じることを確立する。
• 小規模な $ p $ に対して、$ \left( \frac{M^{(k+1)}(0)}{M^{(k)}(0)} \right)^k > M^{(k)}(0) $ が成り立つことを解析的に証明し、リターン分布におけるパワー・ラウの挙動を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部ノイズや戦略の非一様性が存在しない状況下で、価格投資家のみで構成される市場において、肥大尾分布のリターン分布およびボラティリティクラスタリングが生じ得るか？
• RQ2 確率的エージェント参加が線形ファーマー・モデルにおいてどのようにパワー・ラウ尾分布のリターンを生じさせるか、その解析的メカニズムは何か？
• RQ3 リャプノフ指数が0（臨界点）となる際、システムの挙動はどのように変化するのか？また、肥大尾の発生を支える力学的特徴は何か？
• RQ4 エージェントの取引確率 $ p $、エージェント数 $ N $、およびリターン分布の尾指数の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 モデルのモーメントおよび確率的ダイナミクスから、尾指数を解析的に特定できるか？

主な発見

• 臨界的（リャプノフ指数が0）な点において、モデルは実証的ファイナンスデータと整合的な肥大尾分布のリターンを生成する。
• 二項モーメント $ M^{(k)}(0) $ の振る舞い、特に小規模な $ p $ に対して $ \left( \frac{M^{(k+1)}(0)}{M^{(k)}(0)} \right)^k > M^{(k)}(0) $ が成り立つ条件を用いることで、リターン分布の尾指数を解析的に特定できる。
• 数値シミュレーションにより、システムが臨界点で動作する場合、ボラティリティクラスタリングが発生することが確認され、取引活動の間歇的バーストが生じることを示している。
• 資本ダイナミクスの極限分布は、$ \sum_{k=1}^n \left( \prod_{j=k+1}^n -\alpha_j \right) \alpha_k \eta_k $ で定義される級数によって一意に支配され、減衰を伴わずにフラクチュエートを維持する。
• モデルは、分岐点を繰り返し通過することで引き起こされるオンオフ間歇的現象が、外部ショックや複数の戦略タイプを前提とせず、観察されるスタイリズド・ファクトを生成できることを示している。
• ヒル推定量および代替ヒルプロットにより、高さ $ \alpha^{-1} $ に安定なレジームが確認され、尾指数 $ \alpha $ を有するパワー・ラウ尾分布の存在が裏付けられ、実証的観察と整合的である。