[論文レビュー] The Eckmann-Hilton argument, higher operads and En-spaces.

Michael Batanin|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、n-オペラッドを用いて、n-オペラッド A の代数を対称代数に変換する n 重のサスペンション構成 Sⁿ(A) を導入することで、エックマン＝ヒルトンの議論を高次元に一般化する。A に関する1対象1射の (n−1)-圏は、Sⁿ(A) の代数と同値であり、やや弱い条件下では、En-オペラッドを用いた圏的余極限を通じて、Sⁿ(A)-代数に明示的な En-作用が得られる。

ABSTRACT

The classical Eckmann-Hilton argument shows that two monoid structures on a set, such that one is a homomorphism for the other, coincide and, moreover, the resulting monoid is commutative. This argument immediately gives a proof of the commutativity of the higher homotopy groups. A reformulation of this argument in the language of higher categories is: suppose we have a one object, one arrow 2-category, then its Hom-set is a commutative monoid. A similar argument due to A.Joyal and R.Street shows that a one object, one arrow tricategory is ‘the same’ as a braided monoidal category. In this paper we extend this argument to arbitrary dimension. We demonstrate that for an n-operad A in the author’s sense there exists a symmetric operadS n (A) called the n-fold suspension of A such that the category of one object, one arrow , . . . , one (n 1)-arrow algebras of A is equivalent to the category of algebras ofS n (A). Moreover, under some mild conditions, we present an explicit formula forS n (A) which involves taking the colimit over a remarkable categorical En-operad. In the case, where A is contractible in an appropriate sense, this formula provides us with an action of the En-operad on algebras ofS n (A).

研究の動機と目的

• n-オペラッドを用いて、エックマン＝ヒルトンの議論を高次元のカテゴリカル構造へ一般化すること。
• n-オペラッド A の n 重サスペンション Sⁿ(A) を定義し、Sⁿ(A) の代数が A に関する1対象1射の (n−1)-圏を分類すること。
• やや弱い条件下で、Sⁿ(A) の明示的公式を、圏的 En-オペラッド上の余極限を用いて確立すること。
• A が適切なホモトピー的意味でコンパクトであるとき、Sⁿ(A)-代数が En-オペラッドの自然な作用を持つことを示すこと。

提案手法

• 論文は著者の意味での n-オペラッドの枠組みを用いて、高次代数的構造をモデル化する。
• Sⁿ(A) は、特定の圏的 En-オペラッド上の余極限を用いて対称的オペラッドとして構成される。
• 主な技術的道具は、n-圏に適応されたエックマン＝ヒルトン議論の高次元一般化である。
• 1対象1射の (n−1)-圏が A に関して同値であることと、Sⁿ(A)-代数との間の同値性は、圏的双対性と整合性定理によって確立される。
• この構成は、A のホモトピー的性質に依存しており、特に A が適切な意味でコンパクトである場合に有効である。
• Sⁿ(A)-代数への En-作用は、余極限の公式と下位の En-オペラッドの構造から自然に生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エックマン＝ヒルトンの議論を高次元のカテゴリカルおよび代数的構造へどのように拡張できるか？
• RQ2 n-オペラッド A の n 重サスペンション Sⁿ(A) の正確な構成は何か？
• RQ3 Sⁿ(A) が En-オペラッドの自然な作用を持つのはどのような条件下か？
• RQ4 A に関する1対象1射の (n−1)-圏と Sⁿ(A)-代数の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 圏的 En-オペラッドは、Sⁿ(A) の対称的構造を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• n-オペラッド A に関する1対象1射…1-(n−1)-射の代数の圏は、対称的オペラッド Sⁿ(A) の代数の圏と同値である。
• Sⁿ(A) の明示的公式が、圏的 En-オペラッド上の余極限として与えられ、やや弱い条件下で有効である。
• n-オペラッド A が適切なホモトピー的意味でコンパクトであるとき、オペラッド Sⁿ(A) は En-オペラッドの自然な作用を持つ。
• Sⁿ(A) の構成は、古典的なエックマン＝ヒルトン議論を高次元に一般化し、モノイド的および対称的構造を統合する。
• サスペンション Sⁿ(A) は、低次元の代数的データから En-代数を体系的に生成する方法を提供する。
• この結果は、サスペンション構成を通じて、高次圏的構造と対称的オペラッドの間に深い関係を確立する。