[論文レビュー] The edge spectrum of $K_4^-$-saturated graphs

Jun Gao, Xinmin Hou+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2018

Graph theory and applications参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$K_4^-$-飽和グラフの辺スペクトルを完全に特定し、辺数が $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$ より多い任意のグラフが二部グラフでなければならないことを証明することで、フルーラーとゴールドの予想を解決し、$K_4^-$ の辺スペクトルの特徴付けを完了した。さらに、$[3n-11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ の範囲の辺数を持つ非二部グラフの構成により、この予想を裏付けた。

ABSTRACT

Given graphs $G$ and $H$, $G$ is $H$-saturated if $G$ does not contain a copy of $H$ but the addition of any edge $e otin E(G)$ creates at least one copy of $H$ within $G$. The edge spectrum of $H$ is the set of all possible sizes of an $H$-saturated graph on $n$ vertices. Let $K_4^-$ be a graph obtained from $K_4$ by deleting an edge. In this note, we show that (a) if $G$ is a $K_4^-$-saturated graph with $|V(G)|=n$ and $|E(G)|>\lfloor \frac{n-1}{2} floor \lceil \frac{n-1}{2} ceil +2$, then $G$ must be a bipartite graph; (b) there exists a $K_4^-$-saturated non-bipartite graph on $n\ge 10$ vertices with size being in the interval $\left[3n-11, \left\lfloor \frac{n-1}{2} ight floor \left\lceil \frac{n-1}{2} ight ceil +2 ight]$. Together with a result of Fuller and Gould in [{\it On ($\hbox{K}_t-e$)-Saturated Graphs. Graphs Combin., 2018}], we determine the edge spectrum of $K_4^-$ completely, and a conjecture proposed by Fuller and Gould in the same paper also has been resolved.

研究の動機と目的

• 関連するグラフに対する進展にもかかわらず、まだ未解決のまま残っている $K_4^-$-飽和グラフの辺スペクトルを完全に特徴づけること。
• フルーラーとゴールドが提起した、$K_4^-$-飽和グラフがトーラン数に近い辺数を持つ場合の構造に関する予想を解消すること。
• $n$ 頂点を持つ $K_4^-$-飽和グラフのすべての可能な辺数を特定することにより、$t \geq 4$ の $K_t^-$-飽和グラフにおける文献の空白を埋めること。

提案手法

• 最短の奇サイクルを用いた議論と辺数の上限評価により、$\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$ より多い辺を持つ任意の $K_4^-$-飽和グラフが二部グラフでなければならないことを証明する。
• 構造的な頂点分割とエッジ集合の設計により、制御された辺数を持つ非二部グラフの族 $F_n(a,b)$ を構成する。
• 関数 $f_n(a,b) = b(n - b - 3) + n + a - b + 1$ の解析により、$n \geq 10$、$b \geq 2$、$a \geq 0$、$n \geq a + b + 5$ の条件下で、この関数が区間 $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ をカバーすることを示す。
• エッジの種別に応じたケース分析を用いて、$F_n(a,b)$ に欠落しているエッジを追加すると $K_4^-$ のコピーが生成されることを確認し、$K_4^-$-飽和性を検証する。
• 既知の飽和数 $\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\rfloor$ とトーラン数 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rfloor$ を境界として用い、スレートを完成させる。
• 前述の結果をフルーラーとゴールドの先行研究と組み合わせることで、完全な辺スペクトルが区間と一点の和集合として得られることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 辺数が $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$ より多い $K_4^-$-飽和グラフは、すべて二部グラフでなければならないか？
• RQ2 区間 $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ の辺数を持つ非二部グラフの $K_4^-$-飽和グラフが存在するか？
• RQ3 上位範囲 $[\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 3, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rfloor]$ の辺数を持つ $K_4^-$-飽和グラフは、すべて完全二部グラフ（ほぼ等しい部集合）または二部集合が等しく、1つのシングルトン集合を持つ完全三部グラフでなければならないか？
• RQ4 フルーラーとゴールドが提案した、上位辺数範囲における $K_4^-$-飽和グラフの構造に関する予想は正しいか？
• RQ5 $n$ 頂点を持つ $K_4^-$-飽和グラフの可能な辺数の完全な集合は何か？

主な発見

• 最短の奇サイクルを用いた議論と辺数の上限評価により、$\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$ より多い辺を持つ $K_4^-$-飽和グラフは、すべて二部グラフでなければならないことが証明された。
• $n \geq 10$ のとき、$[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ の範囲の辺数を持つ $K_4^-$-飽和非二部グラフが存在し、族 $F_n(a,b)$ を用いて構成された。
• $n \geq 10$ のとき、$K_4^-$ の辺スペクトルは $\left\{\left\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\right\rfloor\right\} \cup [2n - 4, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2] \cup \{i(n-i) \mid i \in [1, n-1]\}$ として完全に特定された。これは既知の結果と新規の結果を統合したものである。
• パラメータ $a$ と $b$ を変化させることで、$F_n(a,b)$ は $[3n - 11, \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2]$ のすべての辺数を達成でき、$b \geq 2$、$a \geq 0$、$n \geq a + b + 5$ の条件を満たす。また、辺数関数は $b$ に関して下に凸であり、$a$ に関して増加する。
• フルーラーとゴールドの予想、特に $[\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 3, \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\lceil\frac{n}{2}\rceil]$ 範囲における $K_4^-$-飽和グラフの構造に関する予想は、この区間が完全二部グラフ（ほぼ等しい部集合）または二部集合が等しく、1つのシングルトン集合を持つ完全三部グラフのみから成るという点で、正しいことが確認された。
• 完全な辺スペクトルには、飽和数 $\lfloor\frac{3(n-1)}{2}\rfloor$ の一点、$2n - 4$ から $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor\lceil\frac{n-1}{2}\rceil + 2$ までの区間（非二部グラフでカバー）、および $i \in [1, n-1]$ に対する $i(n-i)$ のトーラン数（完全二部グラフでカバー）が含まれる。