[論文レビュー] The Edge-Szeged Index and the PI Index of Benzenoid Systems in Linear Time

Niko Tratnik|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2016

Graph theory and applications参考文献 22被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、カット法を用いて得られる3つの商木に問題を還元することにより、ベンゼノイド系におけるエッジ-シュガーデ指数とPI指数を線形時間で計算するアルゴリズムを提示する。主な貢献は、両指標についてO(m)時間で計算が可能である点であり、エッジ重み付きベンゼノイド系への応用も可能で、エッジ重み付き商木を用いることで拡張可能である。

ABSTRACT

The edge-Szeged index of a graph $G$ is defined as $Sz_e(G) = \sum_{e=uv \in E(G)}m_u(e)m_v(e)$, where $m_u(e)$ denotes the number of edges of $G$ whose distance to $u$ is smaller than the distance to $v$ and $m_v(e)$ denotes the number of edges of $G$ whose distance to $v$ is smaller than the distance to $u$. Similarly, the PI index is defined as $PI(G) = \sum_{e=uv \in E(G)}(m_u(e) + m_v(e))$. In this paper it is shown how the problem of calculating the indices of a benzenoid system can be reduced to the problem of calculating weighted indices of three different weighted quotient trees. Furthermore, using these results, algorithms are established that, for a given benzenoid system $G$ with $m$ edges, compute the edge-Szeged index and the PI index of $G$ in $O(m)$ time. Moreover, it is shown that the results can also be applied to weighted benzenoid systems.

研究の動機と目的

• 化学的グラフ理論において重要なベンゼノイド系におけるトポロジカル指標を効率的に計算するアルゴリズムの開発。
• 大規模なベンゼノイド系におけるエッジ-シュガーデ指数およびPI指数の計算課題の解決。
• 問題を3つの商木上の重み付き指標に還元する手法の確立により、線形時間での計算を可能にする。
• より広範な化学的および医薬的応用を想定し、エッジ重み付きベンゼノイド系へのアプローチの一般化。

提案手法

• エッジの方向（3つの直交方向）に基づき、カット法を適用してベンゼノイド系を3つの商木に分解する。
• 頂点重みが成分のサイズを表し、辺重みが成分間の接続辺数を表す重み付き商木を定義する。
• エッジ-シュガーデ指数を3つの商木上の重み付きシュガーデ指標の和として表現する：$ Sz_e(G) = ∑_{i=1}^3 Sz_t(T_i, w_i, w_i'') $。
• PI指数を3つの商木上の重み付きPI指標および頂点-PI指標の和として表現する：$ PI_e(G) = ∑_{i=1}^3 (PI_e(T_i, w_i') + PI_v(T_i, w_i, w_i')) $。
• 部分木からの寄与度を再帰的に合算することで、動的木走査を用いて重み付き指標を線形時間で計算する。
• それぞれの成分および接続における元の辺重みの和として、成分および辺重みを定義することにより、エッジ重み付きベンゼノイド系への拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベンゼノイド系のエッジ-シュガーデ指数は、構造的分解を用いて線形時間で計算可能か？
• RQ2 商木と重み付き指標分解を用いて、ベンゼノイド系のPI指数を線形時間で計算可能か？
• RQ3 カット法は、木に基づく還元を用いて、ベンゼノイド系におけるトポロジカル指標を効率的に計算するためにどのように適合可能か？
• RQ4 提案されたアルゴリズムは、線形時間計算量を保ちつつ、エッジ重み付きベンゼノイド系へ一般化可能か？
• RQ5 ベンゼノイド系におけるエッジ-シュガーデ指数と商木の重み付きシュガーデ指数との関係は何か？

主な発見

• 辺数が$ m $であるベンゼノイド系のエッジ-シュガーデ指数は、3つの商木上の重み付きシュガーデ指標の和として計算可能であり、計算時間は$ O(m) $である。
• 辺数が$ m $であるベンゼノイド系のPI指数は、3つの商木上の重み付きPI指標および頂点-PI指標の和として計算可能であり、計算時間は$ O(m) $である。
• 25本の辺を有する例題のベンゼノイド系では、エッジ-シュガーデ指数が$ Sz_e(G) = 1924 $、PI指数が$ PI_e(G) = 556 $として計算された。
• 商木における成分および辺重みをそれぞれの成分および接続に含まれる元の辺重みの和として定義することにより、エッジ重み付きベンゼノイド系への一般化が可能である。
• 任意の二部グラフ（ベンゼノイド系を含む）の頂点-PI指数は、全頂点数と全辺数の積として自明に計算可能であり、$ PI_v(G) = n(G)m(G) $ が成り立つ。
• アルゴリズムは時間計算量において最適であり、同様のグラフクラスにおけるウィーナー指数およびシュガーデ指数の最良既知の線形時間アルゴリズムと一致する。