[論文レビュー] The effect of scalings and translations on the supersymmetric structure of soliton systems

Adrián Arancibia, Mikhail S. Plyushchay+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、n 個のギャップを持つソリトンポテンシャルにおけるnスケーリングおよびnトランスレーションパラメータを有する超対称性を調査し、超代数構造が離散的エネルギー準位配置に依存することを示している。エネルギー準位が一致する場合、超対称性は低下し、相互作用生成子の位数が低下し、相対的トランスレーションに依存するようになる。スケーリングパラメータが完全に一致すると、等スペクトル性が生じ、AKNS階層に属する新たな有限ギャップ1次ボゴリューボフ＝デヘンス系の族が得られる。

ABSTRACT

We investigate a peculiar supersymmetry of the pairs of reflectionless quantum systems described by n-gap soliton potentials of a general form that depends on n scaling and n translation parameters. We show that if all the discrete energy levels of the subsystems are different, the superalgebra, being insensitive to translation parameters, is generated by two supercharges of differential order 2n, two supercharges of order 2n+1, and two bosonic integrals of order 2n+1 composed from Lax integrals of the partners. The exotic supersymmetry undergoes a reduction when r discrete energy levels of one subsystem coincide with any r discrete levels of the partner, the total order of the two independent intertwining generators reduces then to 4n-2r+1, and the nonlinear superalgebraic structure acquires a dependence on r relative translations. For a complete pairwise coincidence of the scaling parameters which control the energies of the bound states and the transmission scattering amplitudes, the emerging isospectrality is detected by a transmutation of one of the Lax integrals into a bosonic central charge. Within the isospectral class, we reveal a special case giving a new family of finite-gap first order Bogoliubov-de Gennes systems related to the AKNS integrable hierarchy.

研究の動機と目的

• nギャップソリトンポテンシャルを有する反射なし量子系におけるスケーリングおよびトランスレーションパラメータが超対称的構造に与える影響を分析すること。
• ペアとなる系の離散的エネルギー準位が一致する場合に超代数がどのように変化するかを特定すること。
• ラックス積分をボソン的中心的生成子に変換することで等スペクトル性が生じる条件を同定すること。
• AKNS階層に関連する1次ボゴリューボフ＝デヘンス系の新たな有限ギャップ解を同定すること。
• 準位縮退を伴う相対的トランスレーションにどのように非線形超代数的構造が依存するかを特徴づけること。

提案手法

• ペア系のラックス積分から微分作用素の位数2nおよび2n+1のスーパーチャージを導出すること。
• ラックス積分から位数2n+1のボソン的積分を構成し、超代数の一部を形成すること。
• 特にr個の準位が片方の系とペア系の間で一致する場合の超代数の振る舞いを分析すること。
• r個の準位が一致する際、独立した相互作用生成子の総位数が4nから4n−2r+1に低下することを示すこと。
• スケーリングパラメータが完全に一致する場合、ラックス積分がボソン的中心的生成子に変換され、等スペクトル性が生じることを特定すること。
• 得られた有限ギャップ系を分類するためにAKNS可積分階層を応用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリングおよびトランスレーションパラメータは、nギャップソリトンポテンシャルの超対称的構造にどのように影響するか？
• RQ2 片方のサブシステムのr個の離散的エネルギー準位がそのペアと一致する場合、超代数にはどのような変化が生じるか？
• RQ3 ラックス積分がボソン的中心的生成子に変換され、等スペクトル性が生じる条件は何か？
• RQ4 この超対称的枠組みから、新たな有限ギャップ1次ボゴリューボフ＝デヘンス系の族を導出可能か？
• RQ5 準位縮退を伴う相対的トランスレーションの下で、非線形超代数的構造はどのように依存するか？

主な発見

• 超代数は、位数2nのスーパーチャージが2つ、位数2n+1のスーパーチャージが2つ、および位数2n+1のボソン的積分が2つから構成され、トランスレーションパラメータに依存しない。
• ペア間でr個の離散的エネルギー準位が一致する場合、独立した相互作用生成子の総位数は4n−2r+1に低下する。
• 準位縮退に起因し、非線形超代数はr個の相対的トランスレーションに明示的な依存性を示す。
• スケーリングパラメータが完全に一対一で一致すると、1つのラックス積分がボソン的中心的生成子に変換され、等スペクトル性が生じる。
• 等スペクトルクラス内では、AKNS可積分階層に関連する新たな有限ギャップ1次ボゴリューボフ＝デヘンス系の族が同定された。
• この構造は、パラメータ依存の超代数的還元を通じて、超対称性、ソリトンポテンシャル、可積分系の間の新たな関係を示している。