[論文レビュー] The effects of interactions on the topological classification of free fermion systems

Lukasz Fidkowski, Alexei Kitaev|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2009

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、T²=1 を満たす時間反転対称性を有する8本の結合したマヨラナ鎖からなるモデルを用いて、1次元自由フェルミオン系のトポロジカル分類を ℤ から ℤ₈ にまで低減させることを示している。このモデルでは、8を法として同一の ℤ 不変量を持つ2つの位相の間に明示的な断続的経路を構築し、強い相互作用によるギャップ領域を介して位相遷移を回避している。臨界点は2次元イジング普遍性クラスに属する。

ABSTRACT

We describe in detail a counterexample to the topological classification of free fermion systems. We deal with a one dimensional chain of Majorana fermions with an unusual T symmetry. The topological invariant for the free fermion classification is an integer, but with the introduction of interactions it becomes well defined only modulo 8. We illustrate this in the microscopic model of the Majorana chain by constructing an explicit path between two distinct free phases whose topological invariants are equal modulo 8, along which the system remains gapped. The path goes through a strongly interacting region. We also find the field theory interpretation of this phenomenon. There is a second order phase transition between the two phases in the free theory which can be avoided by going through the strongly interacting region. We show that this transition is in the 2D Ising universality class, where a first order phase transition line, terminating at a second order transition, can be avoided by going through the analogue of a high temperature paramagnetic phase. In fact, we construct the full phase diagram of the system as a function of the thermal operator (i.e. the mass term that tunes between the two phases in the free theory) and two quartic operators, obtaining a first order Peierls transition region, a second order transition region, and a region with no transition.

研究の動機と目的

• 自由フェルミオン系において ℤ 不変量で分類される異なるトポロジカル位相が、相互作用を導入した際に断続的につなげられるかどうかを調査すること。
• T²=1 対称性を有する8本の結合マヨラナ鎖の微視的モデルを構築し、ℤ 分類の崩壊を示すこと。
• 明示的なハミルトニアン経路を用いて、相互作用の結果、トポロジカル不変量が ℤ₈ にまで低下することを示すこと。
• 熱的および秩序パラメータ演算子の観点から位相図を分析し、一次遷移、二次遷移、遷移なしの領域を特定すること。
• 2次元イジング模型による場の理論的解釈を提供し、回避された遷移における臨界挙動を示すこと。

提案手法

• T²=1 を満たす時間反転対称性を有する8本の平行なマヨラナ鎖のハミルトニアンを構築し、T が奇数番目のサイトのマヨラナ演算子の符号を反転させることを定義する。
• 8つの境界マヨラナモードをギャップ化するT不変な四次相互作用項を導入し、k=0 と k=8 の位相を断続的につなぐことを可能にする。
• マヨラナフェルミオン ψ_j 及びその双一次形を用いて、微視的モデルを連続場理論に写像し、相互作用がある場合の有効低エネルギー理論を特定する。
• ポリヤコフの公式を用いて、四次相互作用および熱的演算子に関連する結合定数 A と B のランゲージ・フローを計算する。
• RGフロー図を分析して固定点および位相境界を特定し、B>0 で B=-2A より上にある領域が一次遷移に対応することを示す。
• B<0 の領域は、2次元イジング普遍性クラスに属し、m>0 と m<0 の位相間の遷移がパラメータ磁化相を経由して回避されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由フェルミオン理論における同一の ℤ トポロジカル不変量を持つ2つの位相が、相互作用を導入した場合に断続的につなげられるか。
• RQ2 T²=1 を満たす T 対称性が1次元マヨラナ鎖のトポロジカル分類に与える役割は何か。
• RQ3 T不変な四次相互作用の導入が、8つの境界マヨラナモードのギャップ化をどのように可能にするか。
• RQ4 相互作用系における m>0 と m<0 位相間の回避された位相遷移の普遍性クラスは何か。
• RQ5 熱的および秩序パラメータ演算子の相互作用から生じる、一次遷移、二次遷移、非遷移領域を含む完全な位相図はどのようにして形成されるか。

主な発見

• 自由フェルミオン系の ℤ トポロジカル不変量が、k=0 と k=8 の位相の間の明示的断続的経路の構築により、相互作用の結果 ℤ₈ にまで低下することが示された。
• 自由理論において二次遷移で分離された2つの位相が、強い相互作用とギャップを持つ領域を経由して断続的につながり、それらがトポロジカルに同値であることを証明した。
• m>0 と m<0 位相間の臨界点は2次元イジング普遍性クラスに属し、B<0 の領域を経由することで遷移が回避された。
• 位相図には一次遷移領域（B>0 かつ B=-2A より上）、二次遷移領域（B=0 の近傍）、非遷移領域（B<0 かつ B=2A より上）が存在する。
• 相互作用領域における有効低エネルギー理論は、質量項を有する自由フェルミオンで記述され、質量の符号は秩序パラメータの凝縮によって制御される。
• 結合定数 A と B のRGフロー方程式から、直線 B=2A が固定線であることが判明し、フロー構造が、本質的に異なる臨界挙動を示す異なる位相領域の存在を確認した。