[論文レビュー] The Ehrhart Function for Symbols

Victor Guillemin, Shlomo Sternberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、剰余項を伴うオイラー＝マクローリン公式を用いて、多準同次的記号へエールハルト多項式定理を拡張し、スケーリングされた多面体における格子点上の記号の和の漸近展開を導出する。主な結果は、和と積分の差を、積分に無限次微分作用素を作用させたものに、多面体に依存しない定数正則化項を補正として加えた式で表すものである。

ABSTRACT

We derive an Ehrhart function for symbols from the Euler-MacLaurin formula with remainder.

研究の動機と目的

• 正則単体多面体上での多準同次的記号へ、多項式からエールハルトの定理を一般化すること。
• スケーリングされた多面体における格子点上での記号の和の漸近展開を導出すること。
• 記号にオイラー＝マクローリン公式を適用する際に必要となる、正則化定数 C を特定および特徴付けること。
• 正則化定数 C が多面体に依存せず、和と積分の差に起因することを示すこと。

提案手法

• スケーリングされた多面体における格子点上での多準同次的記号の和に、剰余項を伴うオイラー＝マクローリン公式を適用する。
• ケファンスキー＝プフリコフの公式を出発点とし、漸近展開を用いて多項式から記号へ拡張する。
• 剰余項を解析接続するためのゲージ付き記号 $ f(x,s) $ を導入し、正則化定数 $ C(s) $ を正則関数として定義する。
• 正の実部が $ \operatorname{Re} s < -r - n $ のとき、定数 $ C $ を極限 $ C = \lim_{N \to \infty} \left( \sum_{\ell \in N\Delta \cap \mathbb{Z}^n} f(\ell) - \int_{N\Delta} f(x) dx \right) $ で計算する。
• 記号 $ f \sim \sum_{\ell} f_\ell $ の漸近展開を用いて、和と積分を同次成分に分解する。
• 差 $ p_w(N,f) - \tilde{p}(N,0,f) $ が、Todd作用素を積分に作用させたものに定数 $ C $ を加えた漸近展開をもつことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則単体多面体上での多準同次的記号へ、エールハルト多項式定理を多項式からどのように拡張できるか。
• RQ2 関数が多項式ではなく記号である場合、ケファンスキー＝プフリコフの公式の正しい一般化は何か。
• RQ3 記号にオイラー＝マクローリン公式を適用する際に、多項式の場合にない正則化定数が必要なのはなぜか。
• RQ4 正則化定数 $ C $ はどのように定義され、その解析的・幾何的性質は何か。
• RQ5 正則化定数 $ C $ は多面体 $ \Delta $ に依存しないのか、もしそうならばその理由は何か。

主な発見

• 多面体 $ N\Delta $ 内の格子点上での多準同次的記号 $ f $ の和と、$ N\Delta $ 上での積分との差は、$ N $ のべきの漸近展開をもつ。
• この漸近展開は $ \left( \mathop{\bf M}\left(\frac{\partial}{\partial h}\right) - \mathrm{Id} \right) \tilde{p}(N,h,f) \big|_{h=0} + C $ で与えられ、ここで $ \mathop{\bf M} $ はTodd作用素、$ C $ は定数である。
• 定数 $ C $ は多面体 $ \Delta $ に依存せず、記号 $ f $ のみに依存し、$ \operatorname{Re} s < -r - n $ のとき $ C = \sum_{\ell \in \mathbb{Z}^n} f(\ell) - \int_{\mathbb{R}^n} f(x) dx $ で与えられる。
• 正則化定数 $ C(s) $ は $ s $ に関して正則であり、整関数に拡張可能で、$ C = C(0) $ である。
• 漸近展開はすべての $ N \in \mathbb{Z}_+ $ に対して有効であり、展開の各項は記号の同次成分を有限個だけ含む。
• この手法はゲージ付き記号 $ f(x,s) $ へ一般化可能であり、$ C(s) $ を解析接続と無限大における極限によって定義可能となる。