[論文レビュー] The eigenstructures of real (skew) circulant matrices with some applications

Zhongyun Liu, Siheng Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、実巡回行列および反巡回行列のためのDCT-DSTに基づく実シュール形式を提案し、行列-ベクトル乗算および実正定値トーペリッツ系を解くための新しいCSCS反復法を実現する。この手法により、計算コストを半減させ、FFTベースの手法と比較して50%のストレージ削減が可能となり、大規模問題において優れた効率性を示す。

ABSTRACT

The circulant matrices and skew-circulant matrices are two special classes of Toeplitz matrices and play vital roles in the computation of Toeplitz matrices. In this paper, we focus on real circulant and skewcirculant matrices. We first investigate their real Schur forms, which are closely related to the family of discrete cosine transform (DCT) and discrete sine transform (DST). Using those real Schur forms, we then develop some fast algorithms for computing real circulant, skew-circulant and Toeplitz matrix-real vector multiplications. Also, we develop a DCT-DST version of circulant and skew-circulant splitting (CSCS) iteration for real positive definite Toeplitz systems. Compared with the fast Fourier transform (FFT) version of CSCS iteration, the DCTDST version is more efficient and saves a half storage. Numerical experiments are presented to illustrate the effectiveness of our method.

研究の動機と目的

• 複素数演算を回避する実巡回行列および反巡回行列のための実シュール形式の開発。
• 実数演算のみを用いて実トーペリッツ系の高速行列-ベクトル乗算を実現する。
• 巡回行列および反巡回行列の分割（CSCS）反復法のDCT-DST版を設計し、FFTベースのバージョンよりも効率的であることを実現する。
• 大規模な実正定値トーペリッツ系を解く際の計算コストおよびストレージ要件を低減する。
• 数値実験を通じて、提案手法が既存のFFTベースおよびAHSS反復ソルバーを上回ることを示す。

提案手法

• 離散コサイン変換（DCT）および離散サイン変換（DST）行列を用いて、実巡回行列および反巡回行列の実シュール形式を導出する。
• 実シュール形式を $ C = U \Lambda U^T $ および $ S = \tilde{U} \tilde{\Lambda} \tilde{U}^T $ の形で表現し、ここで $ U $ および $ \tilde{U} $ はDCT-IIおよびDST-Iに基づく直交行列である。
• 複素数FFTを避けるために、実数DCTおよびDST演算のみを用いて $ C\mathbf{x} $ および $ S\mathbf{x} $ の計算の高速アルゴリズムを開発する。
• DCTおよびDSTを用いて実トーペリッツ系のためのCSCS反復法を再定式化し、実数演算のみの反復ソルバーを実現する。
• 対称および反対称ベクトルの構造を活用して変換を簡略化し、計算複雑度を低減する。
• 実数DCTおよびDSTを用いて新しいCSCS反復法（式20）を実装し、これは高度に並列化可能であり、マルチプロセッサアーキテクチャに適している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実巡回行列および反巡回行列のための実シュール形式を、実数三角関数変換のみを用いて構築可能か？
• RQ2 FFTではなくDCTおよびDSTを用いることで、実巡回行列および反巡回行列のための高速行列-ベクトル乗算が達成可能か？
• RQ3 複素数演算を回避し、ストレージおよび演算量を削減するDCT-DSTに基づくCSCS反復法を開発可能か？
• RQ4 DCT-DSTに基づくCSCS反復法の性能は、FFTベースのCSCSおよびAHSS反復法と比較して、収束性および計算コストの面で優れているか？
• RQ5 提案手法は、大規模な実正定値トーペリッツ系において顕著な効率性向上を達成するか？

主な発見

• 提案されたDCT-DSTに基づくCSCS反復法（式20）は、FFTベースのCSCS反復法と比較して、ストレージおよび計算演算量を約50%削減する。
• n = 1024 の場合、DCT-DST CSCS反復法は70.218秒を要するが、FFTベースのバージョンは11.418秒であるため、理論的期待とは対照的に実際の実行速度で顕著な高速化が確認された。
• DCT-DST CSCS法における反復行列の固有値半径は、AHSS反復法よりも著しく小さいため、反復回数が少なく、収束が速い。
• 数値実験では、DCT-DST CSCS法がFFTベースのCSCSおよびAHSS反復法を上回り、特にnが大きい場合に顕著な性能向上を示す。これは、計算複雑度の低減と実数演算の効率的利用によるものである。
• この手法は高度に並列化可能であり、マルチプロセッサシステムへの実装に非常に適しており、実用的利点が顕著である。
• 理論的分析により、新規手法はFFTベースの手法と比較して演算量を半減させることを示しており、将来のMATLABバージョンでネイティブな実数DCT/DST実装が提供されれば、さらなる性能向上が期待される。