[論文レビュー] The eigenvalue problem for the Monge-Amp\\`ere operator on general bounded convex domains

Nam Q. Le|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、一般の有界な凸領域（境界に滑らかさの仮定なし）に対して、Monge-Ampère固有値の存在、一意性、および変分的特徴付けを確立し、滑らかで強凸な領域から非滑らか・特異な設定へと既存の結果を拡張する。固有関数は正定数倍を除き一意であり、固有値は領域のHausdorff収束に関して安定であることが示され、Brunn-Minkowski型および等周不等式の完全な一般化が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we study the eigenvalue problem for the Monge-Amp\\`ere operator on general bounded convex domains. We prove the existence, uniqueness and variational characterization of the Monge-Amp\\`ere eigenvalue. The convex Monge-Amp\\`ere eigenfunctions are shown to be unique up to positive multiplicative constants. Our results are the singular counterpart of previous results by P-L. Lions and K. Tso in the smooth, uniformly convex setting. Moreover, we prove the stability of the Monge-Amp\\`ere eigenvalue with respect to the Hausdorff convergence of the domains. This stability property makes it possible to investigate the Brunn-Minkowski, isoperimetric and reverse isoperimetric inequalities for the Monge-Amp\\`ere eigenvalue in their full generality. We also discuss related existence and regularity results for a class of degenerate Monge-Amp\\`ere equations.

研究の動機と目的

• 滑らかで強凸な領域に限らない一般の有界凸領域に対して、境界に滑らかさの仮定なしにMonge-Ampère固有値問題の理論を拡張すること。
• 特異的・退化する設定において、Monge-Ampère固有値および固有関数の存在と一意性を確立すること。
• 固有値が領域のHausdorff収束に関して安定であることを証明し、幾何的不等式の完全な一般化を可能にすること。
• Tsoの結果を非滑らか領域へ一般化する変分的特徴付けを提供すること。
• 固有値問題の文脈における退化Monge-Ampère方程式の解の正則性を調査すること。

提案手法

• 凸で境界でゼロとなる関数のクラスにおける変分的下界としてMonge-Ampère固有値を定式化する：$\lambda[\Omega] = \inf \frac{\int_\Omega (-u)\det D^2u\,dx}{\int_\Omega (-u)^{n+1}\,dx}$。
• 変分法の直接法を用いて、境界で消える凸関数のクラスにおける最小化子の存在を証明する。
• 近似および安定性の議論を用いて、すべての $\beta \in (0,1)$ に対して固有関数の $C^{0,\beta}$ 正則性を確立する。
• 境界近傍のスケーリングモデルにおける重み付きSchauder推定を用いて、領域内部における $C^{\infty}$ 正則性を証明する。
• スケーリングおよびコンパクトネスの議論を用いて、内部正則性の枠組みにおいて固有関数が境界にまで $C^{\infty}$ であることを示す。
• 領域のHausdorff収束における固有値の安定性を応用し、Brunn-Minkowski不等式の一般化を一般凸体へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界が非滑らかであっても、一般の有界凸領域においてMonge-Ampère固有値問題は凸関数のクラスに一意な解をもつか。
• RQ2 変分的特徴付けが滑らかで強凸な領域に限らず、一般凸領域へ拡張可能か。
• RQ3 Monge-Ampère固有値は領域のHausdorff収束に関して安定か。これにより、幾何的不等式がすべての凸体へ拡張可能か。
• RQ4 一般凸領域におけるMonge-Ampère固有関数の最良正則度は何か。特に境界付近での正則度は。
• RQ5 Brunn-Minkowski不等式および等周不等式が、$C^2_+$ 域に限らず、すべての凸領域に対して完全に一般化可能か。

主な発見

• Monge-Ampère固有値 $\lambda[\Omega]$ は存在し、$(-u)\det D^2u$ と $(-u)^{n+1}$ の積分比を含む変分的公式により一意に特徴付けられる。
• 固有関数 $u$ は正定数倍を除き一意であり、すべての $\beta \in (0,1)$ に対して $C^{0,\beta}(\overline{\Omega})$ に属する。
• 固有関数は内部 $\Omega$ で $C^{\infty}$ であり、適切な条件下では境界にまで $C^{\infty}$ である。
• 次元定数 $c(n), C(n)$ を用いて、二重評価 $c(n)|\Omega|^{-2} \leq \lambda[\Omega] \leq C(n)|\Omega|^{-2}$ が成り立つ。
• 固有値はHausdorff収束の下で安定であり、SalaniのBrunn-Minkowski不等式がすべての有界凸領域へ拡張可能になる。
• 結果は、滑らかで強凸な設定から特異的・非滑らかな場合へとLionsおよびTsoの結果を一般化し、一般凸領域における完全な固有値理論を確立する。