[論文レビュー] The eigenvalues of the sample covariance matrix of a multivariate heavy-tailed stochastic volatility model

Anja Janßen, Thomas Mikosch+2 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、多変量の重尾確率的ボラティリティモデルにおける標本共分散行列の固有値および固有ベクトルの漸近的挙動を分析する。正規化された変動時間系列に対する大偏差理論を用いて、多変量α安定極限定理を導出し、重尾型のノイズ項が独立と類似した極限をもたらす一方で、重尾型のボラティリティ系列は、ボラティリティの依存構造によって決定される依存的極限定理をもたらすことを示している。

ABSTRACT

We consider a multivariate heavy-tailed stochastic volatility model and analyze the large-sample behavior of its sample covariance matrix. We study the limiting behavior of its entries in the infinite-variance case and derive results for the ordered eigenvalues and corresponding eigenvectors. Essentially, we consider two different cases where the tail behavior either stems from the i.i.d. innovations of the process or from its volatility sequence. In both cases, we make use of a large deviations technique for regularly varying time series to derive multivariate $α$-stable limit distributions of the sample covariance matrix. While we show that in the case of heavy-tailed innovations the limiting behavior resembles that of completely independent observations, we also derive that in the case of a heavy-tailed volatility sequence the possible limiting behavior is more diverse, i.e. allowing for dependencies in the limiting distributions which are determined by the structure of the underlying volatility sequence.

研究の動機と目的

• 多変量の重尾型確率的ボラティリティモデルにおける標本共分散行列の固有値および固有ベクトルの極限挙動を理解すること。
• 重尾型のノイズ項と重尾型のボラティリティ系列の2つの状況を区別すること。
• 無限大の分散を持つ条件下で、標本共分散行列の多変量α安定極限定理を導出すること。
• ボラティリティ系列の依存構造が、固有値および固有ベクトルの極限定理的構造に与える影響を検討すること。

提案手法

• 正規化された変動時間系列に対する大偏差理論を応用し、多変量確率過程における尾部挙動を分析する。
• 無限大の分散仮定の下で、標本共分散行列の多変量α安定極限定理を導出する。
• 独立同分布のノイズが正規化可能である場合とボラティリティ系列が正規化可能である場合の2つの別個の状況を分析する。
• スペクトル解析を用いて、極限における順序付き固有値および対応する固有ベクトルを研究する。
• 重尾の原因（ノイズ vs. ボラティリティ）に応じて、極限定理の分布を明示的に特徴付ける。
• 正規化可能な過程の性質を活用して、α安定極限への分布収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量の重尾型確率的ボラティリティモデルにおいて、標本共分散行列の固有値はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 ノイズ項が正規化可能である場合、標本共分散行列の極限定理はどのような分布であるか？
• RQ3 ノイズではなくボラティリティ系列が正規化可能である場合、極限挙動はどのように異なるか？
• RQ4 ボラティリティ系列内の依存性が、固有値および固有ベクトルの極限定理的構造にどの程度影響を与えるか？
• RQ5 無限大の分散条件下で、標本共分散行列の極限定理を多変量α安定分布として特徴づけられるか？

主な発見

• ノイズ項が重尾的かつ独立同分布の場合、標本共分散行列の極限挙動は独立観測と類似し、固有値は多変量α安定分布に収束する。
• 重尾型ボラティリティ系列の場合は、極限定理がボラティリティ系列内の時間的依存性を反映する依存的構造を示す。
• 極限固有値および固有ベクトルは、ボラティリティの自己相関構造に従って、多変量α安定分布に分布収束する。
• 正規化可能な時間系列に対する大偏差理論を用いることで、長距離依存が存在する状況でもこれらのα安定極限を導出可能である。
• 重尾の原因がノイズかボラティリティかによって、標本共分散行列のスペクトル的性質における極限挙動が根本的に異なることが明らかになった。
• 分析により、ボラティリティ系列が正規化可能である場合には、極限定理が退化せず、非自明な依存構造を保持することが確認された。