[論文レビュー] The Einstein-Cartan-Dirac theory

Swanand Khanapurkar|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2018

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、新しい質量依存性長尺度 $L_{cs}$ を組み込んだ一般化されたエインシュタイン＝カルタン＝ディラック（ECD）理論を提案し、量子的および重力的効果を統一する。WKBに類似した展開とニューマン＝ペンローズ形式を用いて、低質量極限では重力が1次に消える一方、高質量極限ではデルタ源を持つポアソン方程式に還元されることを示し、小質量と大質量の間で曲率とねじれの双対性が生じることを示唆する。

ABSTRACT

There are various generalizations of Einstein's theory of gravity (GR); one of which is the Einstein-Cartan (EC) theory. It modifies the geometrical structure of manifold and relaxes the notion of affine connection being symmetric. The theory is also called $U_4$ theory of gravitation; where the underlying manifold is not Riemannian. The non-Riemannian part of the space-time is sourced by the spin density of matter. Here mass and spin both play the dynamical role. We consider the minimal coupling of Dirac field with EC theory; thereby calling the full theory as Einstein-Cartan-Dirac (ECD) theory. In the recent works by T.P Singh titled "A new length scale in quantum gravity", the idea of new unified; mass dependent length scale $L_{cs}$ in quantum gravity has been proposed. We discuss this idea and formulate ECD theory in both - standard length scales as well as this new length scale. We found the non-relativistic limit of ECD theory using WKB-like expansion in $\sqrt{\hbar}/c$ of the ECD field equations with both the length scales. At leading order, ECD equations with standard length scales give Schrödinger-Newton equation. With $L_{cs}$, in the low mass limit, it gives source-free Poisson equation and for higher mass limit, it reduces to Poisson equation with delta function source. Based on this, a falsifiable test of the idea of $L_{cs}$ has been proposed. Next, we formulate ECD theory with both the length scales (especially the Dirac equation (Hehl-Datta equation) and Contorsion spin coefficients) in Newman-Penrose (NP) formalism. The idea of $L_{cs}$ suggests a symmetry between small and large masses. Formulating ECD theory with $L_{cs}$ in NP formalism is desirable because NP formalism happens to be the common vocabulary for the description of low masses (Dirac theory) and high masses (gravity theories). A duality between Curvature and torsion has also been discussed.

研究の動機と目的

• ECD理論の非相対論的極限を、$\sqrt{\hbar}/c$ を変数とするWKBに類似した展開を用いて調査すること。
• ECD理論をニューマン＝ペンローズ（NP）形式に定式化し、低エネルギー（ディラック）および高エネルギー（重力的）物理学の記述を統一すること。
• 曲率-ねじれ双対性の予想を検証すること。ここで、ねじれは小質量を源とし、曲率は大質量を源とするが、これらは統一長尺度 $L_{cs}$ を通じて結びつく。
• 非線形ディラック方程式および $U_4$ 時空におけるねじれを伴う場の運動方程式に $L_{cs}$ が与える影響を調査すること。
• 量子的および重力的領域が $L_{cs}$ スケールを通じて双対的である理論的枠組みを確立すること。

提案手法

• 標準的および $L_{cs}$ 長尺度を併用して、ECD場の運動方程式の非相対論的極限を、$\sqrt{\hbar}/c$ を変数とするWKBに類似した展開を用いて導出する。
• ニューマン＝ペンローズ形式を用いて、ECD場の運動方程式をスピンルーチン・テンソル変数で表現し、スピン1/2および重力場の統一的記述を可能にする。
• 非対称なアフィン接続とねじれを伴う $U_4$ 時空における修正ディラック方程式としてヘール＝ダッタ方程式を導出する。
• 量子的および古典的重力領域を接続する統一長尺度 $L_{cs} = \sqrt{\hbar c / (G m)}$ を導入する。
• ねじれを伴うミンコフスキー時空における非線形ディラック方程式を解析し、曲率-ねじれ双対性の予想を検証する。
• ベルインファンテ＝ローゼンフェルトの対称化手順を用いて、ねじれを伴う曲がった時空におけるディラック場の保存エネルギー運動量テンソルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_{cs}$ 長尺度の導入が、標準的長尺度と比較してECD理論の非相対論的極限にどのように影響を与えるか？
• RQ2 標準的長尺度を用いたECD方程式の低質量極限における振る舞いは何か？ そして、これは源なしのポアソン方程式に帰着するか？
• RQ3 NP形式は $L_{cs}$ を含むECD理論を一貫して記述可能か？ また、ねじれと曲率の双対性が明らかになるか？
• RQ4 $L_{cs}$ を用いたECD理論は、小質量がねじれを、大質量が曲率を源とする曲率-ねじれ双対性の予想を支持するか？
• RQ5 ねじれを伴うミンコフスキー時空における非線形ディラック方程式の解法が、提示された双対性に与える意味は何か？

主な発見

• $L_{cs}$ を用いた低質量極限では、ECD理論の非相対論的極限が源なしのポアソン方程式に還元され、小質量は1次に重力を寄与しないことが示された。
• 高質量極限において $L_{cs}$ を用いることで、非相対論的極限はデルタ関数源を持つポアソン方程式に還元され、古典的ニュートンポテンシャルが回復された。
• 標準的長尺度を用いたECD理論の非相対論的極限は、シュレーディンガー＝ニュートン方程式を再現し、量子力学と重力の関係を結びつける。
• NP形式は $L_{cs}$ を含むECD方程式を的確に埋め込むことができ、ねじれを伴う時空におけるスピンルーチンの運動と重力場の統一的記述を可能にした。
• ねじれを伴うミンコフスキー時空における非線形ディラック方程式の解が得られ、曲率-ねじれ双対性の予想が支持された。
• $L_{cs}$ を用いたECD理論は、小質量（ねじれを介して）と大質量（曲率を介して）の間の深い対称性を示唆し、これを曲率-ねじれ双対性の予想として形式化した。