[論文レビュー] The Einstein-Maxwell-Particle System in the York Canonical Basis of ADM Tetrad Gravity: I) The Equations of Motion in Arbitrary Schwinger Time Gauges

David Alba, Luca Lusanna|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2009

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ADM四元組重力のヨーク正準基底において、アインシュタイン＝マクスウェル＝粒子系を定式化し、任意のシュヴィンガー時間ゲージにおける明示的なハミルトニアン運動方程式を導出する。重力の潮汐効果と慣性的ゲージ変数を分離し、弱いADMエネルギーにおける外法線曲率のトレース $^{3}K$ が負の運動エネルギー項として現れることを特定し、これがダークエネルギーおよび非平坦な3次元空間におけるバックレアクト効果に関連する可能性を示唆する。

ABSTRACT

We study the coupling of N charged scalar particles plus the electro-magnetic field to ADM tetrad gravity and its canonical formulation in asymptotically Minkowskian space-times without super-translations. We make the canonical transformation to the York canonical basis, where there is a separation between the {\it inertial} (gauge) variables and the {\it tidal} ones inside the gravitational field and a special role of the Eulerian observers associated to the 3+1 splitting of space-time. The Dirac Hamiltonian is weakly equal to the weak ADM energy. The Hamilton equations in Schwinger time gauges are given explicitly. In the York basis they are naturally divided in four sets: a) the contracted Bianchi identities; b) the equations for the inertial gauge variables; c) the equations for the tidal ones; d) the equations for matter. Finally we give the restriction of the Hamilton equations and of the constraints to the family of {\it non-harmonic 3-orthogonal} gauges, in which the instantaneous Riemannian 3-spaces have a diagonal 3-metric. The non-fixed inertial gauge variable ${}^3K$ (the freedom in the clock synchronization convention) gives rise to a negative kinetic term in the weak ADM energy vanishing only in the gauges with ${}^3K = 0$: is it relevant for dark energy and back-reaction? In the second paper there will be the linearization of the theory to obtain Hamiltonian post-Minkowskian gravity with asymptotic Minkowski background, non-flat instantaneous 3-spaces and no post-Newtonian expansion. This will allow to explore the inertial effects induced by the York time ${}^3K$ in non-flat 3-spaces and to check how much dark matter can be explained as an inertial aspect of Einstein's general relativity.

研究の動機と目的

• ADM四元組重力におけるヨーク正準基底を用いて、結合されたアインシュタイン＝マクスウェル＝粒子系の正準形式を構築すること。
• ヨーク写像を用いて、非平坦な3次元空間における潮汐自由度とゲージ変数を分離すること。
• 任意のシュヴィンガー時間ゲージにおける明示的なハミルトニアン方程式（制約および物質・幾何学の式を含む）を導出すること。
• 外法線曲率のトレース $^{3}K$ が弱いADMエネルギーにおける負の運動エネルギー項として果たす役割と、その宇宙論的意味を調査すること。

提案手法

• 四元組を用いて4次元計量を分解することで、14個のディラック制約を持つ正準的取り扱いが可能なADM四元組重力を定式化する。
• ヨーク正準変換を適用し、潮汐自由度とゲージ変数を分離し、$^{3}K$ がハミルトニアン制約に共役な慣性的変数として特定される。
• 共変でない放射ゲージを導入し、縦型光子を排除し、電磁場を横型成分で表現する。
• ディラックハミルトニアンを導出し、それが弱く弱いADMエネルギーに等しいことを示し、4つの異なるグループに分かれるハミルトニアン方程式の完全なセットを導出する：バインチ恒等式、ゲージ変数、潮汐変数、物質方程式。
• 3次元計量が対角で、$^{3}K$ が非ゼロとなる非調和的3直交ゲージに制限し、非平坦な瞬間的な3次元空間を許容する。
• 質量密度 $\check{\cal M}$ の $\theta^i$, $\phi$, および $R_{\bar{a}}$ に関する関数的微分を計算し、物質-重力結合の明示的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平坦な3次元空間を伴うADM四元組重力のヨーク正準基底において、アインシュタイン＝マクスウェル＝粒子系を一貫して結合する方法は何か？
• RQ2 ハミルトニアンにおける外法線曲率のトレース $^{3}K$ の物理的役割は何か？なぜ負の運動エネルギー項として寄与するのか？
• RQ3 ヨーク基底における潮汐自由度と慣性的自由度の分離が、物質および重力の運動方程式にどのように影響するか？
• RQ4 非平坦な3次元空間における $^{3}K$ の慣性的効果は、ダークマターやダークエネルギーに類似した効果を生成できるか？
• RQ5 非調和的3直交ゲージにおけるハミルトニアン方程式の構造は何か？また、調和的または類似するゲージとはどのように異なるか？

主な発見

• ディラックハミルトニアンは弱く弱いADMエネルギーに等しく、正準枠組みにおけるエネルギー運動量保存則と整合的であることが確認された。
• 慣性的ゲージ変数 $^{3}K$ は弱いADMエネルギーにおいて負の運動エネルギー項として現れ、$^{3}K = 0$ のときにのみ消えることから、ダークエネルギーまたはバックレアクト効果との潜在的関連性が示唆される。
• ハミルトニアン方程式は自然に4つのグループに分類される：縮約されたバインチ恒等式、慣性的ゲージ変数（$^{3}K$）の式、潮汐変数の式、物質の式。
• $\theta^i$, $\phi$, および $R_{\bar{a}}$ に関する質量密度 $\check{\cal M}$ の関数的微分が明示的に導出され、電磁ポテンシャルおよび運動量への結合が示された。
• 非調和的3直交ゲージでは3次元計量が対角的であり、$^{3}K$ が非ゼロとなるため、非平坦な瞬間的な3次元空間が許容され、非慣性的フレームの新しいクラスが得られる。
• この形式的枠組みにより、ポストニュートン近似を用いないハミルトニアンポストミンコフスキー理論が可能となり、非平坦な3次元空間における慣性的効果およびそれがダークマターを相対論的慣性効果として説明する可能性に寄与する。