[論文レビュー] The Einstein--null dust system in spherical symmetry with an inner mirror: structure of the maximal development and Cauchy stability

Georgios Moschidis|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、対称軸上でのダストの集中による時空のC⁰非拡張可能性を防ぐために、r = r₀ に内側の鏡を導入した球対称なアインシュタイン-無電荷ダスト系を研究する。滑らかでアスリプトティックにAdSな初期データに対して、最大発展の存在・一意性およびコーシー安定性を示し、スケール ~r₀ におけるエネルギー集中を測る粗いノルムを用いて、AdS不安定性予想の基礎的推移を得る。

ABSTRACT

In this paper, we study the evolution of asymptotically AdS initial data for the spherically symmetric Einstein--massless Vlasov system for $Λ<0$, with reflecting boundary conditions imposed on timelike infinity $\mathcal{I}$, in the case when the Vlasov field is supported only on radial geodesics. This system is equivalent to the spherically symmetric Einstein--null dust system, allowing for both ingoing and outgoing dust. In general, solutions to this system break down in finite time (independent of the size of the initial data); we highlight this fact by showing that, at the first point where the ingoing dust reaches the axis of symmetry, solutions become $C^{0}$ inextendible, although the spacetime metric remains regular up to that point. One way to overcome this trivial obstacle to well-posedness is to place an inner mirror on a timelike hypersurface of the form $\{r=r_{0}\}$, $r_{0}>0$, and study the evolution on the exterior domain $\{r\ge r_{0}\}$. In this setting, we prove the existence and uniqueness of maximal developments for general smooth and asymptotically AdS initial data sets, and study the basic geometric properties of these developments. Furthermore, we establish the well-posedness and Cauchy stabilty of solutions with respect to a rough initial data norm, measuring the concentration of energy at scales proportional to the mirror radius $r_{0}$. The above well-posedness and Cauchy stability estimates are used in our companion paper for the proof of the AdS instability conjecture for the Einstein--null dust system. However, the results of the present paper might also be of independent interest.

研究の動機と目的

• 対称軸上でのダストの蓄積によって引き起こされるC⁰非拡張可能性の問題を解消すること。
• 時空的内側の鏡 r = r₀ が存在する系における適切な定式化とコーシー安定性の確立。
• 鏡の半径 r₀ に比例するスケールにおけるエネルギー集中に敏感な粗い初期データノルムの定義と解析。
• アインシュタイン-無電荷ダスト系の文脈において、AdS不安定性予想の基礎的推移を提供すること。

提案手法

• r > 0 における内側の鏡 r = r₀ を導入し、時空の定義域を r ≥ r₀ に制限することで、軸特異性を回避する。
• 球対称なアインシュタイン-質量のないヴラソフ系（径方向測地線支持）とアインシュタイン-無電荷ダスト系との等価性を用いる。
• 滑らかでアスリプトティックにAdSな初期データセットに対して、一般化された未来発展の概念を用いて最大発展を構成する。
• スケール ~r₀ におけるエネルギー集中を測る粗い初期データノルムを定義し、小さな摂動下での解の制御を可能にする。
• エネルギー推移と幾何解析を用いて、最大発展の存在と一意性を証明する。
• 粗い初期データノルムを用いて解の差を有界化することで、コーシー安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アインシュタイン-無電荷ダスト系において、対称性が保たれる状況下で、軸上でのダストの蓄積によって生じるC⁰非拡張可能性を回避できるか？
• RQ2 r = r₀ に内側の鏡が存在する場合、最大発展の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ3 鏡の存在下で、小さな摂動に対する解のコーシー安定性を保証する初期データノルムは何か？
• RQ4 鏡境界条件を満たす一般の滑らかでアスリプトティックにAdSな初期データに対して、最大発展を一意に構成できるか？
• RQ5 鏡正則化されたこの系における最大発展の幾何学的・解析的性質は何か？

主な発見

• インgoingダストが軸に到達する最初の点で、アインシュタイン-無電荷ダスト系の解はC⁰非拡張可能となるが、計量自体は正則のまま保たれる。
• r₀ > 0 における内側の鏡の導入により、すべての滑らかでアスリプトティックにAdSな初期データセットに対して、一意な最大発展が構成可能となる。
• 与えられた初期データクラスに対して、最大発展は存在と一意性の意味でグローバルに適切に定式化されている。
• 鏡の半径 r₀ に比例するスケールにおけるエネルギー集中を捉える粗い初期データノルムを用いて、コーシー安定性が確立された。
• 結果として得られた推移は、同伴論文で用いられるアインシュタイン-無電荷ダスト系におけるAdS不安定性予想の証明に不可欠な基礎的推移を提供する。
• 最大発展の幾何的構造は、鏡境界まで正しく定義されており、外部領域では曲率特異性が発生しないことが示された。