[論文レビュー] The electromagnetic field in accelerated frames

J. W. Maluf, F. F. Faria|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2011

Geophysics and Sensor Technology被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、平坦なミンコフスキー時空における加速された参照枠への電磁場（ファラデー・テンソルやマクスウェル方程式を含む）の一貫した投影を可能にする幾何的枠組みを、四元場（tetrad fields）を用いて開発する。フレームを座標変換ではなく、正規直交四元場による局所ローレンツ変換として取り扱うことで、線形に加速するフレームにおいて、波の振幅、周波数、波数が時間に依存するドップラー因子に起因して変化するが、光速は一定のままであることを示している。

ABSTRACT

We develop a geometrical framework that allows to obtain the electromagnetic field quantities in accelerated frames. The frame of arbitrary accelerated observers in space-time is defined by a suitable set of tetrad fields, whose timelike components are adapted to the worldlines of a field of observers. We consider the Faraday tensor and Maxwell's equations as abstract tensor quantities in space-time, and make use of tetrad fields to project the electromagnetic field quantities in the accelerated frames. As an application, plane and spherical electromagnetic waves are projected in linearly accelerated frames in Minkowski space-time. We show that the amplitude, frequency and the wave vector of the plane wave in the accelerated frame vary with time, while the light speed remains constant. We also obtain the variation of the Poynting vector with time in the accelerated frame.

研究の動機と目的

• 加速（非慣性）参照枠における電磁場を物理的かつ数学的に一貫した枠組みで記述すること。
• 座標変換に依存する従来の手法に起因する曖昧さを解消し、四元場による真のフレーム変換に代えること。
• 慣性系と共に加速する観測者を比較することで、加速電荷からの放射の物理的実在性を明確にすること。
• 平面波および球面波が線形に加速するフレームでどのように見えるかを、観測可能な量の時間依存的変化に焦点を当てて分析すること。

提案手法

• 時間成分が観測者の世界線に従う正規直交四元場 $ e^a{}_{\mu} $ を用いて加速フレームを定義する。
• 逆四元場 $ e_a{}^{\mu} $ を用いてファラデー・テンソル $ F^{\mu\nu} $ とマクスウェル方程式を四元フレームに投影し、$ \vec{E} $ および $ \vec{B} $ のフレーム成分を導出する。
• 四元場形式を用いて、非測地的運動をとる観測者に作用する慣性力（慣性力）を特徴付ける加速度テンソルを計算する。
• 四元場を用いて、ミンコフスキー時空における平面波および球面波にこの手法を適用し、加速フレームにおける場の成分を表現する。
• 局所性の原理を組み込む：各瞬間において、加速フレームは一時的に共動する慣性フレームに等価である。
• 四元場の投影から生じるドップラー因子 $ \gamma - \gamma\beta = \sqrt{(1 - \beta)/(1 + \beta)} $ を用いて、時間に依存する振幅および周波数の補正項を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標変換に依存せずに、加速フレームへの電磁場の一貫した投影をどのように実現できるか？
• RQ2 与えられた源に対して、加速フレームで測定された電磁場量は、慣性フレームでの測定値と物理的に同等か？
• RQ3 共に加速するフレームで測定した場合、加速電荷の放射は慣性フレームで測定した場合と異なるように見えるか？
• RQ4 平面波または球面波の振幅、周波数、およびポインティング・ベクトルは、線形に加速するフレームから観測した場合、時間とともにどのように変化するか？
• RQ5 加速観測者は、遠くの一定光度源の赤方偏移を測定することで、自らの加速度を推定できるか？

主な発見

• 線形に加速するフレームにおける平面電磁波の振幅は、時間に依存するドップラー因子 $ \gamma - \gamma\beta $ に起因して減少し、$ \beta \to 1 $ に近づくにつれてゼロに近づく。
• 加速フレームにおける平面波の周波数および波数も、時間に依存し、同じドップラー因子 $ \gamma - \gamma\beta = \sqrt{(1 - \beta)/(1 + \beta)} $ に従い、相対論的ドップラーシフトを反映する。
• 加速フレームにおけるポインティング・ベクトルも時間に依存して変化し、加速観測者が見る波のエネルギー流の時間依存的変化を反映する。
• 光速は加速フレームでも一定のままであり、四元場に基づく場の投影においても $ c $ の不変性が保たれていることが確認された。
• 球面波の場合、加速フレームにおける電場および磁場成分は、同じ時間に依存する因子 $ \gamma - \gamma\beta $ によって変調され、$ \sin\theta / r $ に比例する時間依存的振幅をとる。
• 加速観測者は、2つの異なる固有時間における周波数比を測定することで、$ a = \frac{c}{\Delta\tau} \ln\left(\frac{\omega'_1}{\omega'_2}\right) $ の関係を用いて、自らの加速度を推定できる（一定の源光度を仮定）。