[論文レビュー] The $\ell^p$-metrization of functors with finite supports

Iryna Banakh, Тарас Банах+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2020

Advanced Topology and Set Theory参考文献 19被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、集合の圏における有限サポートを持つ函手の ℓp-メトリゼーションを導入し、函手空間 FX 上の標準的距離 d^p_F X を定義する。これは、各自然な写像 X^n → FX（有限サポートによって誘導される）が X^n 上の ℓp-距離に関して非拡張的となるような最大の擬距離として定義される。主な貢献は、d^p_F X が距離（擬距離でない）であるための条件の特徴付けである。これは、函手 F がシングルトンを保存し、かつ以下の4つの条件のいずれかが満たされる場合に成立する：リプシッツ的非連結性、p=1、有限次数、またはサポート保存。さらに、誘導された函手 F^p がリプシッツ写像およびさまざまな関数クラスを保存することの証明も含まれる。

ABSTRACT

Let $p\in[1,\infty]$ and $F:\mathbf{Set} o\mathbf{Set}$ be a functor with finite supports in the category $\mathbf{Set}$ of sets. Given a non-empty metric space $(X,d_X)$, we introduce the distance $d^p_{FX}$ on the functor-space $FX$ as the largest distance such that for every $n\in\mathbb N$ and $a\in Fn$ the map $X^n o FX$, $f\mapsto Ff(a)$, is non-expanding with respect to the $\ell^p$-metric $d^p_{X^n}$ on $X^n$. We prove that the distance $d^p_{FX}$ is a pseudometric if and only if the functor $F$ preserves singletons; $d^p_{FX}$ is a metric if $F$ preserves singletons and one of the following conditions holds: (1) the metric space $(X,d_X)$ is Lipschitz disconnected, (2) $p=1$, (3) the functor $F$ has finite degree, (4) $F$ preserves supports. We prove that for any Lipschitz map $f:(X,d_X) o (Y,d_Y)$ between metric spaces the map $Ff:(FX,d^p_{FX}) o (FY,d^p_{FY})$ is Lipschitz with Lipschitz constant $\mathrm{Lip}(Ff)\le \mathrm{Lip}(f)$. If the functor $F$ is finitary, has finite degree (and preserves supports), then $F$ preserves uniformly continuous function, coarse functions, coarse equivalences, asymptotically Lipschitz functions, quasi-isometries (and continuous functions). For many dimension functions we prove the formula $\dim F^pX\le\mathrm{deg}(F)\cdot\dim X$. Using injective envelopes, we introduce a modification $\check d^p_{FX}$ of the distance $d^p_{FX}$ and prove that the functor $\check F^p:\mathbf{Dist} o\mathbf{Dist}$, $\check F^p:(X,d_X)\mapsto (FX,\check d^p_{FX})$, in the category $\mathbf{Dist}$ of distance spaces preserves Lipschitz maps and isometries between metric spaces.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、集合から集合への函手 F: Set → Set で有限サポートを持つものについて、函手空間 FX に標準的な距離構造を構築することである。
• 集合値函手を距離空間の圏へと持ち上げる問題に取り組み、望ましい距離的性質を保つようにすることである。
• 自然な写像 X^n → FX に関して非拡張的であるという性質を満たすように、d^p_F X を最大限にとる距離を定義し、ℓp-距離と整合性を持つようにすることである。
• d^p_F X が擬距離ではなく距離となる条件を調査し、F^p による距離的および位相的性質の保存を特徴付けることである。

提案手法

• 距離 d^p_F X は、任意の n ∈ ℕ および a ∈ F^n に対して、写像 f ↦ Ff(a) が X^n（ℓp-距離を備えた）から FX への写像として非拡張的となるような、FX 上の最大の擬距離として定義される。
• この構成は、有限サポートの連結鎖に依存し、2つの要素を結ぶすべての鎖の総路長の下界によって距離が制限されることに依存する。
• 本稿では、サポートに関連するグラフ構造に対する帰納的議論を用いて、特に ℓp-長さの概念を用いて d^p_F X の上界および下界を導出する。
• 等長性の保存を強化するために、単射的包（injective envelopes）を用いた修正距離  \hat{d}^p_F X を導入し、距離構造を強化する。
• 解析では、F^p がリプシッツ定数を保存することを証明する：任意のリプシッツ写像 f: (X,d_X) → (Y,d_Y) に対して、Lip(Ff) ≤ Lip(f) が成り立つ。
• 次元論においては、Hausdorff次元やエントロピー次元を含むさまざまな次元関数について、dim F^p X ≤ deg(F) · dim X という不等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓp-誘導距離 d^p_F X が擬距離ではなく距離となる条件は何か？
• RQ2 函手 F^p は距離空間間のリプシッツ写像をいつ保存するか？
• RQ3 d^p_F X が距離であるための F および (X,d_X) の必要十分条件は何か？
• RQ4 修正距離 \hat{d}^p_F X は、特に等長性の保存において、どのように距離的性質を改善するか？
• RQ5 dim X および F の次数を用いて、dim F^p X の次元論的境界はどのようなものか？

主な発見

• 距離 d^p_F X が擬距離であることは、函手 F がシングルトンを保存することと同値である。
• 距離 d^p_F X が距離であるのは、F がシングルトンを保存し、かつ以下のいずれかが成り立つ場合に限る：(X,d_X) がリプシッツ的非連結性を満たす、p=1、F が有限次数をもつ、または F がサポートを保存する。
• 任意のリプシッツ写像 f: (X,d_X) → (Y,d_Y) に対して、誘導された写像 Ff: (FX,d^p_F X) → (FY,d^p_F Y) は Lip(Ff) ≤ Lip(f) を満たす。これは F^p がリプシッツ写像を保存することを示している。
• F が有限的（finitary）であり、有限次数をもち、かつサポートを保存するならば、F^p は一様連続関数、粗関数、粗同値、漸近的リプシッツ写像、および準等長写像をすべて保存する。
• 多くの次元関数 dim に対して、不等式 dim F^p X ≤ deg(F) · dim X が成り立つ。これは次元の制御機構を提供する。
• 単射的包を用いて構成された修正距離 \hat{d}^p_F X は、\hat{F}^p が距離空間間の等長写像を保存することを保証する。これは d^p_F X では保証されない性質である。