[論文レビュー] The Elliptic Drinfeld Center of a Premodular Category

Ying Hong Tham|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、前モジュラー圏 C から構成される新しい braided monoidal 圏である楕円型 Drinfeld 中心 Zel(C) を導入する。対象は、適合する半バーディング λ₁ と λ₂ を持つペア (X, λ₁, λ₂) である。この構成は Drinfeld 中心を一般化し、Reshetikhin-Turaev TQFT における異常と関連する SL₂(ℤ)-作用を有する。主な結果として、C がモジュラーであるとき、Zel(C) は自然な函手を介して C と同値であり、1回の穴あきトーラスに付随する圏の座標表現を確立する。

ABSTRACT

Given a tensor category C, one constructs its Drinfeld center Z(C) which is a braided tensor category, having as objects pairs (X, lambda), where X in Obj(C) and lambda is a half-braiding. For a premodular category C, we construct a new category Zel(C) which we call the Elliptic Drinfeld Center, which has objects (X, lambda1, lambda2), where the lambda i's are half-braidings that satisfy some compatibility conditions. We discuss an SL2(Z)-action on Zel(C) that is related to the anomaly appearing in Reshetikhin-Turaev theory. This construction is motivated from the study of the extended Crane-Yetter TQFT, in particular the category associated to the once punctured torus.

研究の動機と目的

• 前モジュラー圏のための Drinfeld 中心を一般化する新しいカテゴリカル構成、楕円型 Drinfeld 中心 Zel(C) を定義すること。
• Zel(C) と拡張された Crane-Yetter TQFT、特に1回の穴あきトーラスに付随する圏との関係を確立すること。
• C がモジュラーであるとき、中間誘導を含む自然な函手を介して Zel(C) が C と同値であることを示すこと。
• Zel(C) における SL₂(ℤ)-対称性の役割と、Reshetikhin-Turaev TQFT における異常との関係を調査すること。
• バナッハホップ代数 H に対して、楕円型 Drinfeld ダブル Del(H) を導入し、Drinfeld ダブルの構成を一般化すること。

提案手法

• 前モジュラー圏 C における対象 (X, λ₁, λ₂) として Zel(C) を定義し、バーディングと適合する半バーディング λ₁ と λ₂ が特定の適合条件を満たすことを要請する。
• C からのテンソル積とバーディングを引き上げることで、Zel(C) にモノイダル構造を構成する。
• 生成曲線のペアに λ₁ と λ₂ を割り当てることで、1回の穴あきトーラスに付随する圏 ZCY(T²₁) への函手を定義する。
• TQFT の接合と異常構造に由来するトーラスの位相的変形を通じて、Zel(C) に SL₂(ℤ)-作用を確立する。
• C がモジュラーであるとき、中間誘導函手 I₁ と標準的埋め込み ι を用いて、合成 i = I₁ ∘ ι: C → Zel(C) がアーベル圏の同値であることを証明する。
• C = H-mod で H がバナッハホップ代数である場合、楕円型 Drinfeld ダブル Del(H) を構成し、Zel(C) ≅ Del(H)-mod であることをアーベル圏として証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張 TQFT における1回の穴あきトーラスに付随する圏の構造を捉えるために、Drinfeld 中心の構成をどのように一般化できるか？
• RQ2 Zel(C) をうまく定義するための2つの半バーディング λ₁ と λ₂ が満たすべき適合条件は何か？
• RQ3 Zel(C) における SL₂(ℤ)-作用は、Reshetikhin-Turaev TQFT における異常とどのように関係するか？
• RQ4 楕円型 Drinfeld 中心 Zel(C) が入力の前モジュラー圏 C と同値であるのはどのような条件下か？
• RQ5 Brochier と Jordan が定義した楕円型ダブルと、楕円型 Drinfeld ダブル Del(H) はモリタ同値か？

主な発見

• C がモジュラーであるとき、合成 i = I₁ ∘ ι: C → Zel(C) はアーベル圏の同値である。これは、モジュラーの場合に Zel(C) が C を回復することを確立する。
• Zel(C) は自然なモノイダル構造を有し、前モジュラー入力と整合する braided tensor category である。
• Zel(C) は、1回の穴あきトーラスの位相的変形に由来する SL₂(ℤ)-作用を有し、TQFT における異常と関連付けることができる。
• C = H-mod で H がバナッハホップ代数である場合、Zel(C) は楕円型 Drinfeld ダブル Del(H) のモジュール圏と同値である。
• Zel(C) の構成は、生成曲線のペアに半バーディングを割り当てることで、1回の穴あきトーラスに付随する圏 ZCY(T²₁) の座標表現を提供する。
• λ₁ と λ₂ に対する適合条件は、Zel(C) が適切に定義されており、テンソル積および双対に関して閉じていることを保証する。