[論文レビュー] The Elliptic Function in Statistical Integrable Models

Kazuyasu Shigemoto|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、2次元統計的可解模型（イジング模型、キラル・ポッツ模型、ベラキン模型など）における循環的 $SU(2)$ 対称性と、ボルツマン重みをパラメータ化する楕円関数との間に深い接続を確立する。これらの模型の可解性が $SU(2)$ 対称性と楕円関数の相互作用に起因することを示し、ヘイゼンベルク代数のベクトル表現が特徴を持つテータ関数に等しいことを示す。特に $N = l^2$ の場合、ザモロドチコフ代数の状態ベクトルが正確にこれらのテータ関数に対応する。

ABSTRACT

We examine the group theoretical reason why various two dimensional statistical integrable models, such as the Ising model, the chiral Potts model and the Belavin model, becomes integrable. The symmetry of these integrable models is SU(2) and the Boltzmann weight can be parametrized by the elliptic function in many cases. In this paper, we examine the connection between the SU(2) symmetry and the elliptic function in the statistical integrable models.

研究の動機と目的

• 2次元統計模型（イジング模型、キラル・ポッツ模型、ベラキン模型など）における可解性の群論的起源を解明すること。
• 楕円関数がこれらの模型のボルツマン重みをパラメータ化する際の明確な数学的役割を明らかにすること。
• 循環的 $SU(2)$ 対称性と楕円関数およびテータ関数の構造との間の対応関係を確立すること。
• ヘイゼンベルク代数のベクトル表現と特徴を持つ楕円テータ関数との関係を結ぶこと。
• $N = l^2$ の場合に、ベラキン模型におけるザモロドチコフ代数の状態ベクトルがヘイゼンベルク代数のベクトル基底に正確に一致することを示すこと。

提案手法

• イジング模型における星-三角形関係を、$SU(2)$ の生成子とその交換関係を用いて分析する。
• ヤコビの楕円関数（sn, cn）を用いてボルツマン重みをパラメータ化し、モジュラー変換における双対性を適用する。
• 循環的 $SU(2)$ 表現を用いて、可解性がスピンの大きさに依存しないことを示す。
• 頂点-面対応を用いて、$A^{(1)}_{N-1}$ 面模型とベラキン頂点模型を関連付ける。
• 離散フーリエ変換を介して、特徴を持つテータ関数とヘイゼンベルク代数のベクトル基底との間の変換を導出する。
• 方程式 $\theta_{\frac{p}{N},0}(lu; N\tau) = v_p(u; \tau)$ が $N = l^2$ のとき成り立つことを示し、ザモロドチコフ代数の状態がテータ関数に一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 循環的 $SU(2)$ 対称性は、2次元統計模型の可解性をどのように規定するか？
• RQ2 楕円関数が異なる模型のボルツマン重みをパラメータ化する際、明確な数学的役割を果たすのはどのような点か？
• RQ3 ヘイゼンベルク代数のベクトル表現は、特徴を持つ楕円テータ関数とどのように関係しているか？
• RQ4 $N = l^2$ の場合に、なぜザモロドチコフ代数の状態ベクトルとテータ関数の間の直接的対応が得られるのか？
• RQ5 楕円関数のモジュラー変換性が可解性の文脈において果たす意義は何か？

主な発見

• イジング模型、キラル・ポッツ模型、ベラキン模型の可解性は、それらの背後にある循環的 $SU(2)$ 対称性に起因し、ボルツマン重みの楕円関数によるパラメータ化と深く結びついている。
• パラメータ化 $\sinh 2K_i = \frac{{\rm sn}(u_i)}{{\rm cn}(u_i)}$ 及びその双対 $\sinh 2K^*_i = \frac{{\rm cn}(u_i)}{{\rm sn}(u_i)}$ は星-三角形関係を満たし、$SU(2)$ スピン表現のすべてのスピン値に対して一貫している。
• $N = l^2$ のとき、ヘイゼンベルク代数のベクトル基底 $v_p(u; \tau)$ はテータ関数 $\theta_{\frac{p}{N},0}(lu; N\tau)$ に等しくなる。これにより、代数的対応関係が明確に確立される。
• ベラキン模型におけるザモロドチコフ代数の状態ベクトル $\widetilde{A}_0(u)$ は、$N = l^2$ の場合にヘイゼンベルク代数のベクトル表現 $v_p(u; \tau)$ に正確に一致する。
• 特徴を持つテータ関数の行列基底 $\theta_{\frac{a}{l},\frac{b}{l}}(u,\tau)$ とベクトル基底 $v_p(u; \tau)$ は離散フーリエ変換によって関連づけられ、それらが代数的構造において双対的役割を果たしていることを確認する。
• 方程式 $\theta_{\frac{p}{N},0}(lu; N\tau) = v_p(u; \tau)$ が $N = l^2$ のとき成立し、ザモロドチコフ代数の状態がテータ関数を通じてヘイゼンベルク代数のベクトルとして実現されることを証明する。