[論文レビュー] The elliptic Kirchhoff equation in $\R^N$ perturbed by a local nonlinearity

Antonio Azzollini|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、$\r^N$（$N \geq 3$）における楕円型キルヒホッフ方程式に対して、局所的Berestycki-Lions型非線形項を有する非自明な正の解が少なくとも1つ存在することを確立する。自然な制約（ポホジャエフ多様体）の上での最小化論法を用い、変分法により基底状態解の存在を証明する。全空間におけるコンパクト埋め込みの欠如を補うために、径対称性とコンcentration-compactness技法を活用する。

ABSTRACT

In this paper we present a very simple proof of the existence of at least one non trivial solution for a Kirchhoff type equation on $\RN$, for $N\ge 3$. In particular, in the first part of the paper we are interested in studying the existence of a positive solution to the elliptic Kirchhoff equation under the effect of a nonlinearity satisfying the general Berestycki-Lions assumptions. In the second part we look for ground states using minimizing arguments on a suitable natural constraint.

研究の動機と目的

• $\r^N$ における $N \geq 3$ のキルヒホッフ方程式に対して非自明な正の解の存在を確立すること。
• 全空間における非局所的キルヒホッフ設定に、Berestycki-Lions枠組みを拡張すること。
• 自然な制約（ポホジャエフ多様体）上での最小化論法を用いて基底状態解の存在を証明すること。
• 全空間におけるコンパクト性の欠如を、径対称性と集中・コンパクトネス技法を活用することで克服すること。
• Ambrosetti-Rabinowitz 条件やマウンテンパス構造を必要としない、単純で直接的な変分的証明を提供すること。

提案手法

• キルヒホッフ方程式に付随するエネルギー汎関数 $I(u)$ を定義し、非局所項 $M(\|\nabla u\|_{L^2}^2) = a + b\|\nabla u\|_{L^2}^2$ を含める。
• ポホジャエフ多様体 $\mathcal{P}$ を定義し、解が存在しなければならない自然な制約としての役割を果たす。これはポホジャエフ恒等式から導かれる。
• 径対称性を用いて、$H^1_r(\r^N)$ 内の有界列の相対的コンパクト性を保証し、弱収束性とノルムの下方連続性を可能にする。
• 汎関数 $I|_{\mathcal{P}}$ の制約付き最小化列 $\{u_n\}$ を $\mathcal{P} \cap H^1_r(\r^N)$ 上に構成する。
• 部分列の弱極限 $u$ が非ゼロであり、適切なスケーリング $\bar{\theta} > 0$ を施すと $\bar{u} \in \mathcal{P}$ となり、$I(\bar{u}) = \mu = \inf_{\mathcal{P}} I$ を満たすことを証明する。
• 下方連続性とFatouの補題を用い、極限に移行して最小化子がオイラー＝ラグランジュ方程式を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 キルヒホッフ方程式は、$\r^N$（$N \geq 3$）においてBerestycki-Lions型非線形項を有する場合、非自明な正の解を有するか？
• RQ2 コンパクト性が欠如する状況下でも、ポホジャエフ多様体上での最小化論法によって基底状態解が得られるか？
• RQ3 径対称性は、全空間におけるコンパクト性を回復させ、最小化子の存在を保証するのに十分か？
• RQ4 マウンテンパス定理やAmbrosetti-Rabinowitz条件に依存せずに、証明を単純化し、直接的なものにできるか？
• RQ5 このような方程式の存在枠組みにおいて、ゼロ質量仮定の役割は何か？

主な発見

• Berestycki-Lions 条件を満たす非線形項を有するキルヒホッフ方程式について、$\r^N$（$N \geq 3$）で非自明な正の解が少なくとも1つ存在することが確立された。
• エネルギー汎関数 $I$ のポホジャエフ多様体 $\mathcal{P}$ 上での最小化子として基底状態解が存在し、$\mu = \inf_{\mathcal{P}} I > 0$ が成り立つ。
• 最小化列は弱収束して非ゼロ関数 $u$ に収束し、適切なスケーリング $\bar{u} = u(\cdot / \bar{\theta})$ を施すと $\mathcal{P}$ に属し、下界を達成する。
• 証明は径対称性を用いてコンパクト性を保証し、弱下方連続性とFatouの補題を用いて極限に移行する。
• Ambrosetti-Rabinowitz 条件を必要とせず、マウンテンパス構造も不要であるため、従来の手法とは対照的により単純な代替手法を提供する。
• ゼロ質量非線形項に対しても、仮定 (g1)–(g4) あるいはそのゼロ質量版が満たされていれば、結果は成立する。