[論文レビュー] The Empirical Edgeworth Expansion for a Studentized Trimmed Mean

Nadezhda Gribkova, Roelof Helmers|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2011

Advanced Statistical Methods and Models被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、トリミング分位数近辺の母集団分布における局所的滑らかさ条件の下で、Studentized trimmed mean に対する経験的エッジワース展開（EEE）の有効性を確立する。歪度およびバイアス補正のための $N^{-1/2}$ 項に対して、単純で明示的な公式を提示する。これはU統計量型近似と、順序統計量のBahadur型表現を用いて得られ、先行研究がこの項を明示的に導出できなかったのを改善する。

ABSTRACT

We establish the validity of the empirical Edgeworth expansion (EE) for a studentized trimmed mean, under the sole condition that the underlying distribution function of the observations satisfies a local smoothness condition near the two quantiles where the trimming occurs. A simple explicit formula for the N^{-1/2} term (correcting for skewness and bias; N being the sample size) of the EE is given. In particular our result supplements previous work by P. Hall and A.R. Padmanabhan, On the bootstrap and the trimmed mean}, J. of Multivariate Analysis, v. 41 (1992), pp. 132-153. and H. Putter and W.R. van Zwet, Empirical Edgeworth expansions for symmetric statistics, Ann. Statist., v. 26 (1998), pp. 1540-1569. The proof is based on a U-statistic type approximation and also uses a version of Bahadur's representation for sample quantiles.

研究の動機と目的

• 最小限の正則性条件の下で、Studentized trimmed mean に対する経験的エッジワース展開（EEE）の有効性を確立すること。
• 歪度およびバイアス補正のための、$N^{-1/2}$ 項の単純で明示的な公式を提供すること。
• 剰余項が $N^{-3/4}\log^{5/4}N$ のオーダーとなるU統計量型近似を、trimmed mean に対して開発すること。
• 本結果が、対称統計量に対する一般エッジワース展開の既存理論からは導けないことを示すこと。
• Studentizationに用いられるプラグイン推定量の一致性および収束速度を確立すること。

提案手法

• Hoeffding分解の最初の2項とは異なる、trimmed mean に対するU統計量型近似を用いる。
• 順序統計量と母集団分布の性質を結びつけるために、標本分位数のBahadur型表現を採用する。
• 3次積率 $\gamma_{3,W}$ とバイアス補正項 $\delta_{2,W}$ を用いて、$N^{-1/2}$ 項の補正を導出する。これらは $\sigma_W^3$ で正規化される。
• Studentizationにおける標準誤差のプラグイン推定量に対して、確率的近似技術を適用する。
• 部分積分と分布関数の差 $\Delta F_{r,N-2}(x)$ の漸近的バウンドを用いて、2次モーメントを分析する。
• 領域 $\xi_\alpha$ および $\xi_\beta$ の近傍における積分への分解を通じて、$\mathbb{E}[T_{N,(1,2)}^2]$ の漸近的挙動を確立し、明示的な分散項を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トリミング分位数 $\xi_\alpha$ および $\xi_\beta$ 近辺での母集団分布の局所的滑らかさ条件の下で、Studentized trimmed mean に対する経験的エッジワース展開を確立できるか？
• RQ2 Studentized trimmed mean のエッジワース展開における $N^{-1/2}$ 項に対して、単純で明示的な公式が存在するか？
• RQ3 trimmed mean に対するU統計量型近似が、$N^{-3/4}\log^{5/4}N$ のオーダーの剰余項を達成できるか？
• RQ4 提案手法が、対称統計量に対する一般エッジワース展開から導けない結果をもたらすか？
• RQ5 与えられた滑らかさ条件の下で、trimmed mean の漸近的バイアスおよび分散は何か？

主な発見

• 母集団分布関数がトリミング分位数 $\xi_\alpha$ および $\xi_\beta$ 近辺で局所的に滑らかであるという唯一の条件下で、Studentized trimmed mean に対する経験的エッジワース展開は有効である。
• $N^{-1/2}$ 項の歪度およびバイアス補正は、明示的に $\lambda_1 = \gamma_{3,W}/\sigma_W^3$ および $\lambda_2 = \delta_{2,W}/\sigma_W^3$ で与えられる。ここで $\gamma_{3,W}$ は3次中心モーメント、$\delta_{2,W}$ はバイアス補正項である。
• trimmed mean に対するU統計量型近似の剰余項は、$N^{-3/4}\log^{5/4}N$ のオーダーであり、この手法にとって最適である。
• 2次モーメント $\mathbb{E}[T_{N,(1,2)}^2]$ は漸近的に $N^{-3}\left(\frac{\alpha^2(1-\alpha)^2}{f^2(\xi_\alpha)} - 2\frac{\alpha^2(1-\beta)^2}{f(\xi_\alpha)f(\xi_\beta)} + \frac{\beta^2(1-\beta)^2}{f^2(\xi_\beta)}\right) + o(N^{-3})$ に収束する。
• trimmed mean のバイアスは漸近的に $\frac{1}{N}\left(\frac{\alpha^2}{f(\xi_\alpha)}(\mu_W - \xi_\alpha)^2 - \frac{(1-\beta)^2}{f(\xi_\beta)}(\mu_W - \xi_\beta)^2\right) + o(N^{-1})$ に収束する。ここで $\mu_W$ はWinsorized変数の平均である。
• 結果は、一般エッジワース展開理論（例：Putterとvan Zwet [16]）からは導けない。これは、補題A.2における反例によって示されている。