[論文レビュー] The energy conservation and regularity for the Navier-Stokes equations

Wenying Tan, Zhaoyang Yin|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、3次元ナビエ＝ストークス方程式の弱解について、エンドポイントローレンツ＝BMO空間 $L^{2,\infty}(BMO)$ におけるエネルギー保存則と正則性を調査する。この研究では、$BMO$ でタイプIIの爆発を示すが $L^{\infty}$-ノルムでは有界な発散なしの解を構成し、$L^{2,\infty}(BMO)$ 可積分性のもとで局所的エネルギー等式を証明し、$t \to T$ において $||u(t)||_{BMO} \gtrsim \frac{1}{\sqrt{T-t}}$ の鋭い爆発速度を確立する。これらの結果により、臨界エンドポイント空間における正則性基準とエネルギー保存則に関する未解決問題が解決される。

ABSTRACT

In this paper, we consider the energy conservation and regularity of the weak solution $u$ to the Navier-Stokes equations in the endpoint case. We first construct a divergence-free field $u(t,x)$ which satisfies $\lim_{t o T}\sqrt{T-t}||u(t)||_{BMO}0$. Furthermore, we prove that if $||u_3||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))}=M

研究の動機と目的

• 3次元ナビエ＝ストークス方程式の弱解の正則性およびエネルギー保存則を、臨界エンドポイント空間 $L^{2,\infty}(BMO)$ において調査すること。
• 知られている正則性基準の境界に位置する $L^{2,\infty}(BMO)$ 空間において、タイプIIの爆発が可能かどうかを特定すること。
• 有限時間に特異点を迎える解において、$BMO$ ノルムの爆発速度に対する鋭い下界を確立すること。
• $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\Omega))} < \infty$ であるとき、任意の $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ に対して $[0,T] \times \Omega$ 上で局所的エネルギー等式が成り立つことを証明すること。また、$\mathbb{R}^3$ 上でノルムが有限であれば、グローバルエネルギー等式が成り立つこと。
• $u_3$ が同じ空間で有界であると仮定したもとで、水平成分 $u_h$ が $L^{2,\infty}(BMO)$ で十分に小さい場合にグローバル正則性が保証されることを示す、条件付き正則性基準を導出すること。

提案手法

• Leray射影 $\mathbb{P}$ を用いて非圧縮性を保証するため、特異的プロファイル $v = |x|^{\sqrt{T-t}}(-\ln|x|)^s \phi(x)$ を用いて発散なしのベクトル場 $u(t,x)$ を構成する。
• 変数変換とガンマ関数の推定を用いて、$\sqrt{T-t} \nabla v$ の $L^3$ ノルムを推定し、$u = \mathbb{P}v$ の $BMO$ ノルムを制御する。
• $\dot{W}^{1,3}(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow BMO(\mathbb{R}^3)$ の埋め込みを用いて、$||u(t)||_{BMO} \lesssim \frac{1}{\sqrt{T-t}}$ を証明する。
• 原点における $\mathbb{P}v$ のリーマン変換成分を解析することで、$||u(t)||_{L^\infty} \gtrsim \frac{1}{(T-t)^{1 + s/2}}$ の下界を確立する。
• $L^3$ 上でのリーマン変換の有界性と $\phi$ の減衰性を用いて、$\mathbb{P}v$ の $L^\infty$-ノルムを制御する。
• $||u_3||_{L^{2,\infty}(BMO)} = M < \infty$ を仮定し、$||u_h||_{L^{2,\infty}(BMO)}$ の小ささがグローバル正則性を示すことを示す、条件付き正則性基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンドポイント空間 $L^{2,\infty}(BMO)$ において、$||u(t)||_{BMO}$ が $\sqrt{T-t}$ スケーリングのもとで有界のままである一方で $||u(t)||_{L^\infty}$ が発散する場合、タイプIIの爆発が可能かどうか。
• RQ2 $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\Omega))} < \infty$ であるとき、任意の $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ に対して $[0,T] \times \Omega$ 上で局所的エネルギー等式が成り立つかどうか。
• RQ3 有限時間特異点に近づく際、$||u(t)||_{BMO}$ の爆発速度の鋭い評価は何か。
• RQ4 $u_3$ が $L^{2,\infty}(BMO)$ で有界であり、$u_h$ が同じ空間で十分に小さい場合、正則性が保証されるか。
• RQ5 $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))} < \infty$ であるとき、グローバルエネルギー等式が成り立つか。

主な発見

• 本稿では、$\lim_{t\to T} \sqrt{T-t} ||u(t)||_{BMO} < \infty$ であるが $\lim_{t\to T} \sqrt{T-t} ||u(t)||_{L^\infty} = \infty$ であるような発散なしの解 $u(t,x)$ を構成した。これにより、$L^{2,\infty}(BMO)$ 空間においてタイプIIの爆発が許容可能であることが示された。
• 任意の $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ に対して、適切な弱解が $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\Omega))} < \infty$ を満たすならば、$[0,T] \times \Omega$ 上で局所的エネルギー等式が成り立つ。これはエンドポイント設定において鋭い結果である。
• グローバルエネルギー等式は、$||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))} < \infty$ である場合、局所的エネルギー等式の直接的系として成り立つ。
• 任意の解について、$t \to T^-$ において $BMO$ ノルムは $\frac{c}{\sqrt{T-t}}$ より速い速度で爆発しなければならない。これは、ある絶対定数 $c > 0$ に対して、爆発速度の鋭い下界を確立する。
• $||u_3||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))} = M < \infty$ であるとき、ある十分に小さい正の定数 $c_M > 0$ が存在し、$||u_h||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))} \leq c_M$ ならば、解 $u$ は $(0,T] \times \mathbb{R}^3$ 上で正則である。これは条件付き正則性基準を提供する。
• 構成により、エンドポイント領域において $L^{2,\infty}(BMO)$ と $L^{2,\infty}(L^\infty)$ は比較不能であることが示された。$\sqrt{T-t}$ スケーリングのもとで $BMO$ で有界であるが $L^\infty$ で無限大に発散する解が存在する。これは、爆発の文脈において、これらの空間が本質的に異なる性質を持つことを強調する。