[論文レビュー] The Energy-Momentum Tensor for the Gravitational Field

S. Babak, L. P. Grishchuk|Jul 7, 1999

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論において重力を平坦なミンコフスキー時空上に定義された非線形テンソル場として取り扱うことで、一意に定義された重力エネルギー運動量テンソルを提案する。場の理論的枠組みを用いて、対称的で保存的であり、2階微分を含まず、6つの物理的および数学的条件によって一意に決定されるテンソルが導かれる。これは、曲がった時空における重力的エネルギーと運動量の整合的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

The search for the gravitational energy-momentum tensor is often qualified as an attempt of looking for ``the right answer to the wrong question''. This position does not seem convincing to us. We think that we have found the right answer to the properly formulated question. We have further developed the field theoretical formulation of the general relativity which treats gravity as a non-linear tensor field in flat space-time. The Minkowski metric is a reflection of experimental facts, not a possible choice of the artificial ``prior geometry''. In this approach, we have arrived at the gravitational energy-momentum tensor which is: 1) derivable from the Lagrangian in a regular prescribed way, 2) tensor under arbitrary coordinate transformations, 3) symmetric in its components, 4) conserved due to the equations of motion derived from the same Lagrangian, 5) free of the second (highest) derivatives of the field variables, and 6) is unique up to trivial modifications not containing the field variables. There is nothing else, in addition to these 6 conditions, that one could demand from an energy-momentum object, acceptable both on physical and mathematical grounds. The derived gravitational energy-momentum tensor should be useful in practical applications.

研究の動機と目的

• 重力エネルギー運動量を定義する際の長年の曖昧さを解消するため、重力を動的計量ではなく平坦時空上での場として定式化すること。
• 重力エネルギー運動量テンソルの探索が不適切であるという批判に応えるために、物理的および数学的に整合的なテンソルを導出可能であることを示すこと。
• 導出されたテンソルが6つの厳密な条件を満たすように保証すること：ラグランジアンから導出可能であること、テンソル的変換性、対称性、保存性、2階微分の不在、および自明な項を除いて一意であること。
• 特に放射的または動的な時空において、エネルギー運動量解析のための実用的かつ整合的なツールを提供すること。

提案手法

• 重力を動的計量ではなく、固定されたミンコフスキー背景上に定義された非線形テンソル場として扱う場の理論的アプローチを採用する。
• 場の変数とミンコフスキー計量に依存するラグランジアン密度に対して変分原理を適用し、ネーターの定理と整合性を保つ。
• 計量に関する標準的な変分導関数を用いてエネルギー運動量テンソルを導出し、任意の座標変換に対して正しくテンソルとして変換されることを保証する。
• ラグランジアンおよびその変分の明示的代数的操作を通じて、対称性と保存性を強制し、非テンソル的または保存されない成分を排除する。
• 制約条件や対称性（例えばリーマンテンソルの対称性）を適用して、変分導関数を簡略化し、物理的エネルギー運動量寄与を分離する。
• 導出されたテンソルが2階微分を含まず、場の変数を含まない自明な項を除いて一意に決定されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論において、動的計量を基本場として用いないで、整合的な重力エネルギー運動量テンソルを導出することは可能か？
• RQ2 物理的および数学的に整合的と見なされるためには、重力エネルギー運動量テンソルが満たすべき最小限の物理的および数学的条件は何か？
• RQ3 平坦時空におけるラグランジアンから導出可能であり、かつ対称的で保存的で、2階微分を含まないテンソルを構成することは可能か？
• RQ4 提案されたテンソルは、一般相対性理論の標準的定式化における正準的および計量的エネルギー運動量テンソルとどのように比較できるか？
• RQ5 ミンコフスキー時空上での場の理論的アプローチにより、一意的かつ物理的に意味のある重力的エネルギーと運動量の表現が得られるか？

主な発見

• 導出された重力エネルギー運動量テンソルは、場の変数を含まない自明な修正を除いて一意に決定され、すべての6つの要件を満たす。
• テンソルは対称的であり、運動方程式に従って保存的であり、任意の座標変換に対して適切なテンソルとして変換される。
• テンソルは場の変数の2階微分を含まず、1階微分のみに依存するため、場の運動方程式において良好に振る舞う。
• ラグランジアンからの変分的導出は一貫的かつ明確な表現をもたらし、最終形は論文の式 (B17) で与えられる。
• 標準的定式化の極限において、このテンソルは計量的エネルギー運動量テンソルと等価であるが、より根本的な場の理論的アプローチから導出される。
• この方法により、重力的エネルギー運動量を定義する際の曖昧さが解消され、提示された6つの条件を超える物理的または数学的条件は必要ないことが証明された。