[論文レビュー] The Energy-Momentum Tensor in General Relativity and in Alternative Theories of Gravitation, and the Gravitational vs. Inertial Mass

Hans C. Ohanian|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、ラグランジュ場理論における正準エネルギー運動量テンソルとアインシュタイン方程式における源テンソルの間の一般的関係を確立し、非最小結合の差異にもかかわらず、2次微分項を含む任意の系に対しても、重力的質量と慣性的質量が正確に等しいことを示している。ブラーンス＝ディック理論においては、非最小結合に起因する重力的質量と慣性的質量の不等式について、正確な公式を導出し、補正された比例定数を伴うノルトヴェート効果に類似した効果を確認した。

ABSTRACT

We establish a general relation between the canonical energy-momentum tensor of Lagrangian dynamics and the tensor that acts as the source of the gravitational field in Einstein's equations, and we show that there is a discrepancy between these tensors when there are direct nonminimal couplings between matter and the Riemann tensor. Despite this discrepancy, we give a general proof of the exact equality of the gravitational and inertial masses for any arbitrary system of matter and gravitational fields, even in the presence of nonminimal second-derivative couplings and-or linear or nonlinear second-derivative terms of any kind in the Lagrangian. The gravitational mass is defined by the asymptotic Newtonian potential at large distance from the system, and the inertial mass is defined by the volume integral of the energy density determined from the canonical energy-momentum tensor. In the Brans-Dicke scalar field theory, we establish that the nonminimal coupling and long range of the scalar field leads to an inequality between the gravitational and inertial masses, and we derive an exact formula for this inequality and confirm that it is approximately proportional to the gravitational self-energy (the Nordvedt effect), but with a constant of proportionality different from what is claimed in the published literature in calculations based on the PPN scheme. Similar inequalities of gravitational and inertial masses are expected to occur in other scalar and vector theories.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論および代替理論における正準エネルギー運動量テンソルと重力源テンソルの関係を明確化すること。
• 非最小結合および高階微分項が存在する状況における重力的質量と慣性的質量の等価性に関する長年の曖昧さを解消すること。
• ブラーンス＝ディック理論を含むスカラー・テンソル理論における重力的質量と慣性的質量の不等式の正確な式を導出すること。
• 従来のPPNに基づくノルトヴェート効果の推定値を、不等式の正確で摂動論的でない公式によって修正すること。

提案手法

• 微分同相不変性に対するネーターの定理を用いて、ラグランジアンから正準エネルギー運動量テンソルを導出する。
• アインシュタイン方程式における源テンソルが、作用を計量に関して変分微分したものとして特定されることを示す。
• 場の2階微分の任意の非線形結合を含むラグランジアン、特にリーマンテンソルへの非最小結合を分析する。
• ブラーンス＝ディック理論に形式を適用し、漸近的ニュートン的ポテンシャルから重力的質量を、正準エネルギー密度の体積積分から慣性的質量を計算する。
• 摂動的近似を一切用いない、正確な場の運動方程式を用いて重力的質量と慣性的質量を比較する。
• スカラー・テンソル理論における質量不等式の閉形式の式を導出し、重力的自己エネルギーに比例することを示し、補正された係数を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論および非最小結合を伴う代替理論において、正準エネルギー運動量テンソルと重力源テンソルの関係は何か？
• RQ2 高階微分項または非最小結合を持つ場の理論において、重力的質量が慣性的質量と異なる条件は何か？
• RQ3 ブラーンス＝ディック理論において、ノルトヴェート効果と重力的自己エネルギーの正確な関係は何か？また、PPNに基づく推定とはどのように異なるか？
• RQ4 ラグランジアンに任意の2階微分項が存在する場合でも、重力的質量と慣性的質量の等価性を厳密に証明できるか？
• RQ5 スカラー・テンソル理論において、質量不等式と重力的自己エネルギーとの比例定数は正確に何か？

主な発見

• 物質とリーマンテンソルの直接的な非最小結合がある場合、一般相対性理論および代替理論において、正準エネルギー運動量テンソルとアインシュタイン方程式の源テンソルは異なる。
• この差異にもかかわらず、任意の物質および重力場の系において、重力的質量と慣性的質量は正確に等しい。これは、ラグランジアンに任意の2階微分項が存在する場合にも成立する。
• ブラーンス＝ディック理論において、非最小結合および長距離スカラー場の存在により、重力的質量と慣性的質量の厳密な不等式が生じる。
• 本稿では、この不等式の正確な公式を導出し、重力的自己エネルギーに比例するが、従来のPPNに基づく計算とは異なる比例定数であることを示した。
• ノルトヴェート効果の係数に対する補正を明示的に計算し、それが非自明であることを示し、過去の近似手法の無効性を立証した。
• 結果は他のスカラー理論およびベクトル理論へ一般化可能であり、非最小結合理論においてこのような質量不等式が一般的に生じることを示唆している。