[論文レビュー] The energy technique for the six-step BDF method

Georgios Akrivis, Minghua Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、グレナンドル–ツェゴの定理に基づく緩い乗数条件を導入し、ネバリンナ–オデヒ乗数を有しない6段BDF法の安定性をエネルギー法によって確立する。自己随伴楕円型作用素を伴う放物型方程式について、時間依存係数でも、従来の要件よりも緩い正定性条件を満たす新規乗数を用いることで、無条件安定性を示す。

ABSTRACT

In combination with the Grenander--Szegö theorem, we observe that a relaxed positivity condition on multipliers, milder than the basic %fundamental requirement of the Nevanlinna--Odeh multipliers that the sum of the absolute values of their components is strictly less than $1$, makes the energy technique applicable to the stability analysis of BDF methods for parabolic equations with selfadjoint elliptic part. This is particularly useful for the six-step BDF method for which no Nevanlinna--Odeh multiplier exists. We introduce multipliers satisfying the positivity property for the six-step BDF method and establish stability of the method for parabolic equations.

研究の動機と目的

• 6段BDF法にネバリンナ–オデヒ乗数が存在しないことによる、標準的エネルギー法の適用不能という問題を解決する。
• 5ステップを超える高次BDF法の安定性解析における不安定性の障壁を克服する。
• 乗数の正定性条件を緩めることで、エネルギー法を6段BDF法に拡張する。
• 作用素の有界変動性を満たす時間依存の自己随伴楕円型作用素を伴う放物型方程式について、安定性を確立する。
• 安定性と一貫性誤差解析を組み合わせることで、最適誤差推定のフレームワークを提供する。

提案手法

• 6段BDF法に適した新規乗数クラスを導入し、$1 - \mu_1\cos x - \cdots - \mu_6\cos(6x) > 0$ がすべての $x \in \mathbb{R}$ で成り立つ緩い正定性条件を満たすようにする。これはネバリンナ–オデヒ条件よりも弱い。
• エネルギー法から生じるトーペリッツ型行列のスペクトル特性を分析するために、グレナンドル–ツェゴの定理を適用する。
• 新規乗数を用いて離散エネルギー恒等式を構築し、$|u^n|^2 + \tau \sum_{\ell=6}^n \|u^\ell\|^2 \leq C \sum_{j=0}^5 (|u^j|^2 + \tau \|u^j\|^2)$ の形の安定性推定を得る。
• 時間依存作用素を取り扱うために、スキーム内で $t^m$ における作用素を凍結し、作用素の変動に起因する摂動を有界変動条件 $\|A(t) - A(\tilde{t})\|_{\star} \leq \sigma(t) - \sigma(\tilde{t})$ を用いて推定する。
• 部分和の和と離散グローヴァル不等式を用いて、時間依存作用素の変動に起因する蓄積誤差を制御する。
• 摂動付きスキームと強制項、一貫性誤差を含む場合に対しても安定性を確立し、最適順序の誤差推定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネバリンナ–オデヒ乗数を有しない6段BDF法に対し、エネルギー法を拡張することは可能か？
• RQ2 厳密な $\sum |\mu_j| < 1$ 条件を要件としないで、6段BDF法の安定性を保証する緩い乗数条件は何か？
• RQ3 エネルギー法は、放物型方程式における時間依存の自己随伴楕円型作用素をどのように扱えるか？
• RQ4 グレナンドル–ツェゴの定理は、乗数に基づくエネルギー汎関数の正定性をどのように分析するか？
• RQ5 作用素の有界変動性のもとで、6段BDF法に対して最適誤差推定を導出可能か？

主な発見

• 6段BDF法に適した新規乗数クラスが構成され、すべての $x \in \mathbb{R}$ で $1 - \sum_{j=1}^6 \mu_j \cos(jx) > 0$ を満たす。これはネバリンナ–オデヒ要件よりも緩い条件である。
• これらの乗数を用いてエネルギー法を6段BDF法に成功裏に適用し、自己随伴楕円型作用素を伴う放物型方程式に対して無条件安定性を確立した。
• 有界変動条件 $\|A(t) - A(\tilde{t})\|_{\star} \leq \sigma(t) - \sigma(\tilde{t})$ を満たす時間依存作用素 $A(t)$ に対しても安定性が証明された。
• 定数 $C$ が $\tau$ や $m$ に依存しない形で、安定性推定 $|u^m|^2 + \tau \sum_{\ell=6}^m \|u^\ell\|^2 \leq C \sum_{j=0}^5 (|u^j|^2 + \tau \|u^j\|^2)$ が成り立つ。
• 安定性結果と摂動付きスキームの一致性誤差解析を組み合わせることで、最適順序の誤差推定が可能となった。
• 蓄積変動項 $M^m$ に離散グローヴァル不等式を適用することで、一様有界性が得られ、最終的な安定性境界が導かれた。