[論文レビュー] The Entropy Influence Conjecture Revisited

Bireswar Das, Manjish Pal+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、普遍的定数 $C$ を $2+\delta$（任意の $\delta>0$）に設定したとき、$\{-1,1\}^n$ 上のランダムなブール関数がフォーリエエントロピー・インフルエンス（FEI）予想を高確率で満たすことを証明している。素朴な確率的技法とチェビシェフの不等式を用いて、二重指数的サイズの家族である大多数のブール関数が予想を満たすことを示しており、これはFEI予想を満たすような非明示的家族の中で、このスケールで初めてのものである。

ABSTRACT

In this paper, we prove that most of the boolean functions, $f : \{-1,1\}^n ightarrow \{-1,1\}$ satisfy the Fourier Entropy Influence (FEI) Conjecture due to Friedgut and Kalai (Proc. AMS'96). The conjecture says that the Entropy of a boolean function is at most a constant times the Influence of the function. The conjecture has been proven for families of functions of smaller sizes. O'donnell, Wright and Zhou (ICALP'11) verified the conjecture for the family of symmetric functions, whose size is $2^{n+1}$. They are in fact able to prove the conjecture for the family of $d$-part symmetric functions for constant $d$, the size of whose is $2^{O(n^d)}$. Also it is known that the conjecture is true for a large fraction of polynomial sized DNFs (COLT'10). Using elementary methods we prove that a random function with high probability satisfies the conjecture with the constant as $(2 + δ)$, for any constant $δ> 0$.

研究の動機と目的

• 大きな非明示的家族のブール関数がフォーリエエントロピー・インフラエンス（FEI）予想を満たすことを示すこと。
• FEI予想が成立する関数の既知のクラスを指数的サイズの家族を超えて拡張すること。
• 基本的な確率的技法を用いて、定数 $C=2+\delta$（$\delta>0$）のもとで、ランダムなブール関数が高確率でFEI予想を満たすことを示すこと。
• 構成的でないが重要な結果として、サイズが $2^{2^n}$（小さな誤差項を除く）の家族がFEI予想を満たすことを特定すること。

提案手法

• ランダムなブール関数を、$\{-1,1\}^n$ の各入力に独立かつ一様に $\pm1$ を割り当てるモデルとして定式化する。
• そのようなランダム関数のエントロピーとインフルエンスを表す確率的変数 $H_r$ と $I_r$ を定義する。
• フーリエ係数の期待値とパーサバルの恒等式を用いて、インフルエンスの期待値 $\mathbf{E}[I_r] = n/2$ を計算する。
• フーリエ係数の2次モーメントを分析することで、インフルエンスの分散 $\mathbf{Var}[I_r] = n / 2^{n+1}$ を計算する。
• チェビシェフの不等式を適用して、$I_r$ がその平均から逸脱する確率を抑え、$I_r$ が $n/2$ のまわりに集中することを保証する。
• $H_r \leq n$ と和集合の不等式を用いて、$n$ が大きくなるにつれて $\Pr[H_r > (2+\delta)I_r] \to 0$ となることを示し、$C=2+\delta$ のもとでFEI予想が高確率で成立することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\delta>0$ に対して、定数 $C=2+\delta$ のもとで、ランダムなブール関数がFEI予想を満たすか？
• RQ2 FEI予想を満たす非明示的で二重指数的サイズのブール関数の族を示すことができるか？
• RQ3 ランダムなブール関数のインフルエンスとエントロピーの閾値挙動は、FEI予想とどのように関係するか？
• RQ4 明示的な構造なしに、基本的な確率的技法を用いて、大きな関数族に対してFEI予想を確立できるか？

主な発見

• 任意の $\delta>0$ に対して、$C=2+\delta$ のもとで、ランダムなブール関数は高確率でFEI予想を満たす。失敗確率は $4(1+2/\delta)^2 / (2^{n+1}n)$ で抑えられる。
• FEI予想を満たす関数の族のサイズは、$\left[1 - 4(1+2/\delta)^2 / (2^{n+1}n)\right] \cdot 2^{2^n}$ 以上であり、これは $n$ に関して二重指数的である。
• ランダムなブール関数の期待インフルエンスは $n/2$ であり、分散は $n / 2^{n+1}$ である。これは平均のまわりへの集中を示している。
• 任意のブール関数のエントロピーは最大で $n$ である。これはFEI不等式の失敗確率を抑えるために用いられている。
• 証明は基本的なフーリエ解析とチェビシェフの不等式にのみ依存しており、アクセス可能で自己完結的である。
• 本結果により、FEI予想が成立することが知られている非明示的で二重指数的サイズの家族が初めて特定された。これは、予想の成立範囲を著しく拡大するものである。