[論文レビュー] The enumeration of simple permutations

Michael Albert, M. D. Atkinson+1 more|ArXiv.org|Apr 15, 2003

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用数 75

ひとこと要約

この論文は、空でない真の区間を別の区間に写さない単純な置換（simple permutations）の列挙を調査する。生成関数がP-再帰的でないことを確立し、$ s_n \sim n! / e^2 $ という漸近展開を導出し、2および3の累乗を法とする予期せぬ合同性を特定し、単純置換の個数の列に深い算術的構造が存在することを明らかにする。

ABSTRACT

A simple permutation is one which maps no proper non-singleton interval onto an interval. We consider the enumeration of simple permutations from several aspects. Our results include a straightforward relationship between the ordinary generating function for simple permutations and that for all permutations, that the coefficients of this series are not P-recursive, an asymptotic expansion for these coefficients, and a number of congruence results.

研究の動機と目的

• 長さ $ n $ の単純置換の個数を表す列 $ s_n $ の組合せ論的および算術的構造を理解すること。
• 列 $ s_n $ が多項式係数をもつ線形再帰関係を満たす（つまりP-再帰的である）かどうかを特定すること。
• $ s_n $ の漸近展開、特に主要項を導出すること。
• 列 $ s_n $ が2の累乗および奇素数を法として満たす合同性を調査すること。
• 単純置換を生成したり識別したりする関連するアルゴリズム的問題を探索すること。

提案手法

• 任意の置換が単純置換によるインフレーションとして一意に分解されることを保証する構造定理の使用。
• すべての置換の母関数 $ F(x) = \sum k!x^k $ と単純置換の通常型母関数 $ S(x) $ の間の関数方程式の導出。
• 組合せ論および $ p $-進付値の技法を用いて、$ S(x) $ の係数、特にその2進および3進付値を分析すること。
• 2進加算における繰り上がりの回数を扱うカミーの定理を用いて、$ s_n $ の展開に現れる二項係数の2進付値を特定すること。
• 母関数の変形および合同算術を用いて、3および2の累乗を法とする合同性を確立すること。
• 形式的べき級数における係数として定義される列 $ \mathrm{Com}_n $ を分析し、$ s_n $ の合同性結果を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $ n $ の単純置換の個数を表す列 $ s_n $ はP-再帰的か？
• RQ2 $ s_n $ の漸近的成長率は何か？ また、完全な漸近展開を導出できるか？
• RQ3 $ s_n $ は2の累乗および3の累乗を法としてどのような合同性を満たすか？
• RQ4 単純置換の母関数 $ S(x) $ の係数は、$ F(x) $ の関数的逆元の係数とどのように関係するか？
• RQ5 単純置換を効率的に生成したり識別したりするためのアルゴリズムを設計できるか？

主な発見

• 列 $ s_n $ はP-再帰的でない。なぜなら、その母関数 $ S(x) $ の係数がいかなる多項式係数をもつ線形再帰関係を満たさないからである。
• 列 $ s_n $ の漸近的成長は $ s_n \sim n! / e^2 $ であり、展開における高次の項は未だ不明のままである。
• 奇数の $ n $ に対しては $ s_n \equiv 2 \mod 2^{(n-1)/2} $、偶数の $ n $ に対しては $ s_n \equiv -2 \mod 2^{n/2} $ であり、これは深い2進的構造を示している。
• 列 $ s_n $ は $ s_n \equiv -C_{n-1} + (-1)^n \mod 3 $ を満たす。ここで $ C_{n-1} $ は $ (n-1) $ 番目のカタラン数である。
• 母関数 $ S(x) $ の係数は、$ F(x) $ の関数的逆元の係数と比べて、交互に $ \pm 2 $ の差を示し、驚くべき算術的関係が成立する。
• 導出過程で現れる列 $ \mathrm{Com}_n $ は $ \mathrm{Com}_n \equiv C_{n-1} \mod 3 $ を満たし、カタラン数と関連している。