[論文レビュー] The enumerative geometry of rational and elliptic curves in projective space

Ravi Vakil|ArXiv.org|Sep 5, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、固定された線形部分空間と交わる、および所定の重複度で超平面に接する、射影空間 P^n 内の有理曲線および楕円曲線の個数を数える再帰的公式を導出する。ヒルベルト多様体および安定写像のモジュライ空間における交線論を用いて、その上での上位交線積を計算し、数え上げ不変量を導出する。これは、生成関数 0 および 1 の場合の先行研究を一般化するものである。

ABSTRACT

We study the geometry of varieties parametrizing degree d rational and elliptic curves in P^n intersecting fixed general linear spaces and tangent to a fixed hyperplane H with fixed multiplicities along fixed general linear subspaces of H. As an application, we derive recursive formulas for the number of such curves when the number is finite. These recursive formulas require as ``seed data'' only one input: there is one line in P^1 through two points. These numbers can be seen as top intersection products of various cycles on the Hilbert scheme of degree d rational or elliptic curves in P^n, or on certain components of $\mbar_0(P^n,d)$ or $\mbar_1(P^n,d)$, and as such give information about the Chow ring (and hence the topology) of these objects. The formula can also be interpreted as an equality in the Chow ring (not necessarily at the top level) of the appropriate Hilbert scheme or space of stable maps. In particular, this gives an algorithm for counting rational and elliptic curves in P^n intersecting various fixed general linear spaces. (The genus 0 numbers were found earlier by Kontsevich-Manin, and the genus 1 numbers were found for n=2 by Ran and Caporaso-Harris, and independently by Getzler for n=3.)

研究の動機と目的

• 固定された線形部分空間と交わり、所定の重複度で超平面に接する P^n 内の有理曲線および楕円曲線の個数を再帰的公式で導出すること。
• ヒルベルト多様体および安定写像のモジュライ空間における上位交線積を計算し、数え上げ不変量を決定すること。
• 低次元射影空間における生成関数 0（Kontsevich-Manin）および生成関数 1（Ran, Caporaso-Harris, Getzler）の曲線数に関する先行結果を統合・一般化すること。
• P^1 内の2点を結ぶ1本の直線という1つの初期入力のみを用いて、再帰的構成によりすべてのこのような数え上げを生成するフレームワークを確立すること。
• 任意の射影次元における指定された交線および接線条件を満たす曲線の列挙のための体系的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• 本手法は、P^n 内の次数 d の有理曲線または楕円曲線のヒルベルト多様体、あるいは Mbar_0(P^n,d) や Mbar_1(P^n,d) のモジュライ空間の成分における交線論を用いる。
• 線形部分空間との交わりおよび重複度付きの接線条件を、関連するモジュライ空間のチャウ環内のサイクルとしてモデル化する。
• 再帰的構造は、安定写像のモジュライ空間における退化技術および境界ストラトムの幾何から生じる。
• このような曲線の個数が、特定のサイクル類の上位次元交線数に一致することを利用している。
• 再帰の初期状態は、P^1 内の2点を通る1本の直線であり、これは初期データとして機能する。
• 公式はチャウ環内の等式として解釈され、必ずしも上位次元でないが、体系的な計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P^n 内の有理曲線および楕円曲線を、固定された線形部分空間と交わり、所定の重複度で超平面に接するように、体系的に数える方法は何か？
• RQ2 このような曲線数を支配するヒルベルト多様体または安定写像のモジュライ空間のチャウ環の構造は何か？
• RQ3 最小限の初期データのみを用いて、これらの数え上げ不変量の再帰的公式を導出できるか？
• RQ4 低次元射影空間における生成関数 0 および 1 の曲線数の既知の公式は、どのように一般化されるか？
• RQ5 モジュライ空間における交線論が、これらの数え上げ不変量の計算に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、P^n 内の指定された交線および接線条件を満たす有理曲線および楕円曲線の個数を数える再帰的公式を提供しており、初期データとして P^1 内の2点を結ぶ1本の直線のみを必要とする。
• このような曲線の個数が、ヒルベルト多様体または安定写像のモジュライ空間上のサイクルの上位交線積として与えられることを示した。
• 公式は、関連するモジュライ空間のチャウ環内での等式として有効であり、必ずしも上位次元でない。
• 生成関数 0 の曲線に対しては、結果は Kontsevich-Manin の公式を回復し、一般化する。
• 生成関数 1 の曲線に対しては、Ran や Caporaso-Harris、Getzler の先行研究を任意の n ≥ 2 に対して拡張する。
• 本手法により、任意の射影次元におけるこれらの数え上げ不変量を計算するアルゴリズム的手順が得られる。