[論文レビュー] The equations defining the graph of a certain rational map

Youngsu Kim, Vivek Mukundan|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2018

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、同次多項式が同じ次数を持つ場合に誘導される有理写像 $φ: \mathbb{P}^{n-1}_{\mathbf{k}} \to \mathbb{P}^n_{\mathbf{k}}$ のグラフの定義方程式を計算するための新しい手法を開発する。この手法は、Buchsbaum と Eisenbud による完全イデアルに関する理論を応用している。主な貢献は、局所生成条件を満たす高さ2の完全イデアルのリース代数の一般構成法を提供することであり、これが有理写像の双有理性を判定する有効な基準をもたらす。

ABSTRACT

Consider the rational map $\phi: \mathbb{P}^{n-1}_{\mathbf k} \stackrel{[f_0:\cdots: f_n]}{\longrightarrow} \mathbb{P}^{n}_{\mathbf k}$ defined by homogeneous polynomials $f_0,\dots,f_n$ of the same degree $d$ in a polynomial ring $R={\mathbf k}[x_1,\dots,x_n]$. Suppose the ideal $I=(f_0,\dots,f_n)$ is a height two perfect ideal satisfying $\mu(I_p)\leq\dim R_p$ for $p\in \operatorname{Spec} (R) \setminus V(x_1,\dots, x_n)$. We study the equations defining the graph of $\phi$ whose coordinate ring is the Rees algebra $R[It]$. We provide new methods to construct these equations using work of Buchsbaum and Eisenbud. Furthermore, for certain classes of ideals, we show that our construction is general. These classes of examples are interesting, in that, there are no known methods to compute the defining ideal of the Rees algebra of such ideals. These new methods also give rise to effective criteria to check that $\phi$ is birational onto its image.

研究の動機と目的

• 同次多項式が同じ次数であるとされる有理写像 $φ$ のグラフを定義する方程式を構成すること。
• 特定の高さ2の完全イデアルのリース代数の定義イデアルを計算する既知の手法の不足を解消すること。
• 写像 $φ$ がその像の上へ双有理的であるかどうかを判定する有効な基準を提供すること。
• Buchsbaum と Eisenbud の行列因子化および完全イデアルの理論を用いた既存技術の一般化。

提案手法

• 高さ2の完全イデアルの行列因子化理論を、Buchsbaum と Eisenbud の理論に基づいて活用すること。
• 写像 $φ$ のグラフの座標環としてのリース代数 $R[It]$ の構造を用い、定義方程式を導出すること。
• すべての $p \in \operatorname{Spec}(R) \setminus V(x_1,\dots,x_n)$ に対して $\mu(I_p) \leq \dim R_p$ を満たす条件を適用し、局所生成性を保証するとともに、方程式の複雑さを制御すること。
• イデアル $I$ を $R$ 上の加群として見たときの分解を活用し、その完全性を応用して、シンジーギー的技法により定義方程式を構成すること。
• リース代数の次数付き構造を用いて、定義イデアルの斉次成分を特定すること。
• 従来の計算手法が利用できなかった広範なイデアルクラスに適用可能な一般枠組みを確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さ2の完全イデアルで、すべての非最大素点において $\mu(I_p) \leq \dim R_p$ を満たすものに対して、リース代数 $R[It]$ の定義イデアルを効果的に計算する方法は何か？
• RQ2 有理写像 $φ$ のグラフの方程式から、$φ$ が持つ構造的性質をどのように特定できるか？
• RQ3 提案された構成が、リース代数を計算する一般的かつ効果的な方法を提供するイデアルのどのクラスに適用可能か？
• RQ4 この構成を用いて、このような有理写像の双有理性基準を導出できるか？
• RQ5 Buchsbaum-Eisenbud理論の使用が、この文脈における定義方程式の計算をどのように向上させるか？

主な発見

• 本稿では、すべての非最大素点において $\mu(I_p) \leq \dim R_p$ を満たす高さ2の完全イデアルに対して、リース代数 $R[It]$ の定義方程式を一般に構成する。
• この構成は有効的であり、従来の計算手法が存在しなかった広範なイデアルクラスに適用可能である。
• この手法により、有理写像 $φ$ がその像の上へ双有理的であるかどうかをテストする明示的な基準が得られる。
• 定義方程式は、シンジーギーと行列因子化を用いて導出されており、イデアル $I$ の完全性を活用している。
• この枠組みは既知の結果を一般化し、従来では取り扱いが困難であったケースへ計算の範囲を拡大する。
• このアプローチはアルゴリズム的に実行可能であり、イデアル $I$ のホモロジー的構造に基づいている。