[論文レビュー] The equidistribution of L-functions of twists by Witt vector Dirichlet characters over function fields

Will Sawin|arXiv (Cornell University)|May 11, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、関数体上のガロア表現（または自動形式）のウィットベクターDirichlet指標による捩れたL関数の等分布性を確立し、有限体のサイズが大きくなるにつれて、これらの捩れたL関数のフロベニウス共轭類がユニタリ群内で等分布することを証明する。主な結果は、任意の連続な共轭不変関数のモノドロミー行列上の平均が、行列式条件付き部分集合上の平均に収束することであり、これは異なる捩れの分布が独立であることを示唆する。

ABSTRACT

Katz showed that the L-functions of all Dirichlet characters of F_q(t), with conductor a fixed power of a degree one prime, are equidistributed in the limit as q goes to infinity. We generalize this statement to the L-functions of twists of an arbitrary Galois representation by Dirichlet characters, including independence of the L-functions of twists of different representations by the same Dirichlet character. A similar generalization, without the independence statement, for characters with squarefree conductor, was proven by Hall, Keating, and Roditty-Gershon.

研究の動機と目的

• KatzのDirichlet L関数に関する等分布結果を、任意のガロア表現に対するウィットベクターDirichlet指標による捩れに一般化すること。
• 同じ捩れのもとで得られる異なるガロア表現からのL関数の分布が互いに独立であることを確立すること。
• ラングランズ対応を通じて、等分布枠組みを層および自動形式へと拡張すること。
• 有限体のサイズ $ q $ が無限大に近づくにつれて、捩れたL関数のフロベニウス共轭類がユニタリ群内で等分布することを証明すること。
• 層論的手法の文脈において、関数方程式の定数とモノドロミーを一様に取り扱うこと。

提案手法

• 導出された指標 $ W_{d,q} $ と $ \bbF_q(x) $ の射類群（導子 $ \infty^{d+1} $ を持つ）との同型を用いて、捩れ指標を定義する。
• 層論的技法とモノドロミー群解析により、問題を中間拡張層に還元する。
• Deligneの等分布定理を適用する際、$ \prod GL_{N_i} $ の既約表現に関連する非特異層上のフロベニウスのトレースを分析する。
• 捩れた層 $ \mathcal{F}_i \otimes \mathcal{L}_\Lambda $ のモノドロミー表現を用いて、穴あきアフィン直線上に非特異層 $ \mathcal{V} $ を構成する。
• レフシェーツ固定点公式を用いて、$ \bbF_q $-有理点上のトレース和を評価し、$ O(q^{d - 1/2 + \sum e_i(w_i+1)/2}) $ であることを示す。
• 純粋性と上位コホモロジーの消失を用いて、すべてのコホモロジー項が所望の誤差率で有界であることを保証し、等分布性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体のサイズ $ q \to \infty $ のとき、固定されたガロア表現のウィットベクターDirichlet指標による捩れL関数は、ユニタリ群内で等分布するか？
• RQ2 同じ捩れのもとで、異なるガロア表現からのフロベニウス共轭類の分布は互いに独立か？
• RQ3 等分布結果は、Dirichlet L関数を越えて、一般のガロア表現や自動形式へと拡張可能か？
• RQ4 関数方程式における行列式の役割は何か？ そして、それが等分布性をどのように制御するか？
• RQ5 捩れた層のモノドロミー群は、関連するL関数の等分布性とどのように関係するか？

主な発見

• $ d \geq 4 $ のとき、$ q \to \infty $ において、捩れたL関数 $ L(s, \rho_i \otimes \Lambda) $ のフロベニウス共轭類 $ \varphi_{\Lambda,i} $ は $ U(N_i) $ 内で等分布する。
• 任意の連続な共轭不変関数 $ f $ について、$ r $-重組 $ (\varphi_{\Lambda,1}, \dots, \varphi_{\Lambda,r}) $ 上の平均は、行列式条件付き部分集合上の平均に収束する。すなわち、$ \langle f \rangle(\det \varphi_{\Lambda,1}, \dots, \det \varphi_{\Lambda,r}) $ に収束する。
• ユニタリモノドロミーを持つL関数を有する指標 $ \Lambda \in W_{d,q} $ の集合 $ S_q $ のサイズは $ (1 - O(1/q))q^d $ である。
• トレース和 $ \sum_{x \in U(\bbF_q)} \operatorname{tr}(\operatorname{Frob}_q, \mathcal{V}_x) $ は $ O(q^{d - 1/2 + \sum e_i(w_i+1)/2}) $ で有界であり、これが等分布性を示唆する。
• 上位コホモロジー群 $ H^{2d}_c(U_{\overline{\bbF}_{q_0}}, \mathcal{V}) $ は、表現 $ V $ が既約かつ行列式に依存しないことから消失する。これにより、不変部分空間が存在しないことが保証される。
• すべての幾何的既約的かつ非同型な層の $ r $-重組について、結果は一様に成り立ち、異なる表現間での等分布性は互いに独立である。