[論文レビュー] The equivalence among new multistep iteration, s-iteration and some other iterative schemes

Faik Gürsoy, Vatan Karakaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2012

Optimization and Variational Analysis参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間における準収縮写像に対して、新しい多ステップ反復、S-反復、およびピカード、マン、イシカワ、ヌール、SPなどの古典的反復スキームの収束の同値性を確立する。統一された解析的枠組みを用いて、もしあらゆる反復のうちの1つが条件 (1.4) の下で固定点に収束するならば、他のすべての反復も同じ極限に収束することを証明し、これにより、以前の同値性結果に新しい多ステップ反復およびS-反復を含める拡張がなされた。

ABSTRACT

In this paper, we show that Picard, Krasnoselskij, Mann, Ishikawa, new two step, Noor, multistep, new multistep, SP and S-iterative schemes are equivalent for contractive-like operators.

研究の動機と目的

• 準収縮写像に対する新しい多ステップ反復、S-反復、および他のよく知られた反復スキーム間の収束同値性を調査すること。
• ピカード、マン、イシカワ、ヌール、SP、多ステップ反復、および多ステップ反復について以前に確立された同値性結果を、新しい多ステップ反復およびS-反復にまで拡張すること。
• 初期点とパラメータが同一である限り、条件 (1.4) の下で、これらのすべての反復スキームが同じ固定点に収束することを示すこと。
• 同じ収縮条件の下で、これらのスキームの収束行動を確認する統一された理論的枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者は、収縮的類写像条件 (1.4) の下で、新しい多ステップ反復 (1.6) とS-反復 (1.7) の収束行動を分析する。この条件は準収縮写像を一般化する。
• 距離の差を固定点と比較する技術を用い、不等式 $\|Tx - Ty\} \leq \delta\|x - y\| + \varphi(\|x - Tx\|)$ を利用する。ここで $\delta \in [0,1)$ であり、$\varphi$ は $\varphi(0) = 0$ を満たす厳密に増加関数である。
• 収束が成立するための再帰的不等式を確立し、$\|x_n - u_n\|$, $\|x_n - p\|$, および $\|Tx_n - x_n\|$ を含む。これにより、ある系列が収束するならば、他のすべての系列も収束することが示される。
• すべての $n$ に対して $\alpha_n \geq A > 0$ を仮定することで、ステップサイズの均一な制御が可能となり、異なるスキーム間の比較が可能になる。
• Rhoades、Şoltuz、Chugh、Kumar の既知の収束結果を応用し、新しいスキームと既存のものとの間の関係を確立する。
• 同値性は、あるスキームの収束が、すべての他のスキームが同じ固定点 $p \in F_T$ に収束することを示すことによって、形式的に確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 条件 (1.4) の下で、新しい多ステップ反復が固定点に収束するための必要十分条件は、マン反復やイシカワ反復が同様に収束することであると、同値であると言えるか？
• RQ2 同じ収縮的類条件 (1.4) の下で、S-反復は新しい多ステップ反復および他の反復スキームと収束において同値であるか？
• RQ3 古典的反復スキーム間の収束同値性は、準収縮写像に対して、新しい多ステップ反復およびS-反復を含む形に拡張可能か？
• RQ4 パラメータ $\alpha_n$, $\beta_n$, および $\gamma_n$ にどのような条件を課すと、あるスキームの収束が他のすべてのスキームの収束を保証するか？
• RQ5 収縮的類条件 (1.4) は、多様な反復スキーム間の収束行動をどのように統一的に扱うか？

主な発見

• 条件 (1.4) の下で、新しい多ステップ反復 (1.6) が固定点 $p$ に収束するための必要十分条件は、ピカード、クラスノセルスキー、マン、イシカワ、新しい2段階、ヌール、SP、および多ステップ反復がすべて $p$ に収束することである。
• 初期点とパラメータ $\alpha_n \geq A > 0$ が同一である限り、S-反復 (1.7) は、上記に挙げたすべてのスキームと収束において同値である。
• 条件 (1.4) の下で、10種類のスキームのうちのいずれか1つが収束するならば、すべての他のスキームも同じ固定点 $p \in F_T$ に収束する。
• 証明により、$\|x_n - p\| \to 0$ ならば $\|Tx_n - x_n\| \to 0$ であることが示され、これは反復系列の同値性を確立する上で不可欠である。
• 著者は、新しい多ステップ反復およびS-反復の収束が、同じ条件下で古典的スキームと同値に可能であることを確認している。
• 本結果により、準収縮写像に対する既存の同値定理が、2つの新しいスキーム（新しい多ステップ反復およびS-反復）を含む形に一般化された。