[論文レビュー] The Equivalence between Uniqueness and Continuous Dependence of Solution for BSDEs with Continuous Coefficient

Guangyan Jia, Zhiyong Yu|ArXiv.org|Mar 26, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、連続的かつ線形成長係数を有する1次元の後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）に関して、解の一意性と生成子 $ g $ および終端条件 $ \xi $ に対する連続的依存性の等価性を確立する。やや弱い正則性条件下で、一意性が連続的依存性を意味し、逆に連続的依存性が一意性を意味することを示し、最小/最大解に関する近似および比較技法を用いて、古典的結果をリプシッツでない設定に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we will prove that, if the coefficient $g=g(t,y,z)$ of a BSDE is assumed to be continuous and linear growth in $(y,z)$, then the uniqueness of solution and continuous dependence with respect to $g$ and the terminal value $ξ$ are equivalent.

研究の動機と目的

• 生成子 $ g $ が $ (y,z) $ に関してのみ連続で、必ずしもリプシッツでない場合のBSDEにおける解の一意性と連続的依存性の関係を調査すること。
• 線形成長および連続性の仮定の下で、解の一意性が $ g $ および $ \xi $ に対する連続的依存性を意味するか、逆に連続的依存性が一意性を意味するかを同定すること。
• 金融および確率的制御応用で一般的に見られる非リプシッツ生成子を有するBSDEを分析する理論的基盤を提供すること。
• 連続性および線形成長の下で、古典的な連続的依存性不等式（例：El Karouiら）を非リプシッツの場合に一般化し、等価性を証明すること。

提案手法

• 連続生成子 $ g^\lambda $ の正則化を図るため、インフィミウムおよびスーパムコンボリューションを用いて、近似生成子の族 $ \underline{g}_m^\lambda $ および $ \bar{g}_m^\lambda $ を導入し、リプシッツ連続性を保証する。
• 近似BSDE $ (\underline{g}_m^\lambda, T, \xi^\lambda) $ および $ (\bar{g}_m^\lambda, T, \xi^\lambda) $ の解の存在および一意性を用いて、最小解および最大解を構成する。
• 比較定理を適用し、任意の解 $ (y^\lambda, z^\lambda) $ が最小解および最大解の間に挟まれること、すなわち $ \underline{y}_t^{\lambda,m} \leq y_t^\lambda \leq \bar{y}_t^{\lambda,m} $ を示す。
• 近似生成子 $ \underline{g}_m^\lambda $ および $ \bar{g}_m^\lambda $ がパrameter $ \lambda $ に関して連続的であることを確立し、$ \lambda \to \lambda_0 $ の収束解析を可能にする。
• 近似解が $ m \to \infty $ のとき $ \mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}_d^2 $ 内で収束することを用い、近似の振る舞いと元のBSDEとの関連を結ぶ。
• 連続的依存性が一意性を意味すること（最小解と最大解が一致することによる）および逆に一意性が連続的依存性を意味すること（近似の収束および解の差の上限を用いた）を示し、等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子 $ g $ が連続的かつ線形成長係数を有するBSDEについて、解の一意性が $ g $ および $ \xi $ に対する連続的依存性を意味するか？
• RQ2 $ g $ がリプシッツでない場合に、$ g $ および $ \xi $ に対する連続的依存性が解の一意性と等価であるか？
• RQ3 古典的な連続的依存性推定式（例：$ \mathbb{E}[\sup_t |y_t^1 - y_t^2|^2] \leq C \mathbb{E}[|\xi^1 - \xi^2|^2 + \int |g^1 - g^2|^2 dt] $）を非リプシッツの場合に一般化できるか？
• RQ4 リプシッツ条件が成り立たない状況において、最小解および最大解を用いて、解の一意性および連続的依存性をどのように特徴づけられるか？

主な発見

• 連続的かつ線形成長係数 $ g $ を有するBSDEについて、解の一意性は生成子 $ g $ および終端条件 $ \xi $ に対する連続的依存性と等価である。
• 解が一意であるとき、$ g $ および $ \xi $ の摂動に対応する任意の2つの解の差は、摂動が消えるにつれて $ \mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}_d^2 $ 内でゼロに収束する。
• 近似解 $ (\underline{y}_t^{\lambda,m}, \underline{z}_t^{\lambda,m}) $ および $ (\bar{y}_t^{\lambda,m}, \bar{z}_t^{\lambda,m}) $ は、$ m \to \infty $ のとき、真の最小解および最大解に $ \mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}_d^2 $ 内で収束する。
• 近似生成子 $ \underline{g}_m^\lambda $ および $ \bar{g}_m^\lambda $ はリプシッツ連続であり、$ m \to \infty $ のとき $ g^\lambda $ に一様収束するため、近似に対して古典的BSDE理論を適用可能にする。
• 近似生成子に関して $ \lambda $ に関する連続的依存性が成り立ち、この性質は極限でも保たれ、近似の振る舞いと元の問題との関連を結ぶ。
• 等価性は、連続的依存性が最小解と最大解が一致することを意味し、したがって一意性を導くこと、および逆に一意性が摂動下での解の差が消えることを示すことにより確立される。