[論文レビュー] The equivariant Orlik-Solomon algebra

Nicholas Proudfoot|ArXiv.org|Jun 2, 2003

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、実超平面配置の補集合のZ₂-等変コホモロジー環としての等変Orlik-Solomon代数を導入し、点付き向き付きマトロイドを用いた組合せ的表示を与える。この代数が、同一の非等変ホモトピー型を持つ配置を区別できることを示し、等変位相は非向き付きマトロイドによって決定されないことを示し、Varchenko-Gelfand環を通常のOrlik-Solomon代数の変形としての位相的解釈を提供する。

ABSTRACT

Given a real arrangement $A$, the complement $M(A)$ of the complexification of $A$ admits an action of $\mathbb{Z}_2$ by complex conjugation. We define the equivariant Orlik-Solomon algebra of $A$ to be the $\mathbb{Z}_2$-equivariant cohomology ring of $M(A)$ with coefficients in $\mathbb{Z}_2$. We give a combinatorial presentation of this ring, and interpret it as a deformation of the ordinary Orlik-Solomon algebra into the Varchenko-Gel'fand ring of locally constant $\mattbb{Z}_2$-valued functions on the complement $C(A)$ of $A$ in $\mathbb{R}^n$. We also show that the $\mathbb{Z}_2$-equivariant homotopy type of $M(A)$ is determined by the oriented matroid of $A$. As an application, we give two examples of pairs of arrangements $A$ and $A'$ such that $M(A)$ and $M(A')$ have the same nonequivariant homotopy type, but are distinguished by the equivariant Orlik-Solomon algebra.

研究の動機と目的

• 実超平面配置の補集合のZ₂-等変コホモロジー環を定義し、研究すること。
• 点付き向き付きマトロイドを用いて、この等変コホモロジー環の組合せ的表示を提供すること。
• 等変Orlik-Solomon代数を、局所定数Z₂-値関数のVarchenko-Gelfand環への通常のOrlik-Solomon代数の変形として解釈すること。
• M(A)のZ₂-等変ホモトピー型が向き付きマトロイドによって決定されることを示すこと。
• 同型でないが非等変補集合が同型となるような配置の例を構成すること。

提案手法

• 複素化された配置の補集合M(A)のZ₂-等変コホモロジーH*_{Z₂}(M(A); Z₂)として等変Orlik-Solomon代数を定義する。
• 生成子e₁,…,eₙと新たな変数xを用い、点付き向き付きマトロイドから導かれる関係を用いて代数の表示を構成する。
• 関係の3つの族を特定する：(1) eᵢ² = 0、(2) ∩_{i∈S} Hᵢ = ∅ ならば ∏_{i∈S} eᵢ = 0、(3) codim(∩_{i∈S} Hᵢ) > |S| ならば ∂(∏_{i∈S} eᵢ) = 0。
• 複素共役作用を用いてM(A)上のZ₂作用を定義し、固定点集合をM_R(A)（実補集合）とする。
• Macaulay 2を用いて環内の線形形式の annihilator を計算し、等変Orlik-Solomon代数の非同型性を検出する。
• 2組の配置を構成する：1つは、補集合が微分同相であるランク3配置の一般化されたランク2切断を用い、もう1つは直線配置のフリップを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実超平面配置の補集合のZ₂-等変コホモロジー環は、点付き向き付きマトロイドを用いて組合せ的に表示可能か？
• RQ2 等変Orlik-Solomon代数は、局所定数Z₂-値関数のVarchenko-Gelfand環への通常のOrlik-Solomon代数の変形であるか？
• RQ3 M(A)のZ₂-等変ホモトピー型は、Aの向き付きマトロイドにのみ依存するか？
• RQ4 2つの配置が補集合がホモトピー同値であっても、等変Orlik-Solomon代数が非同型となることはあり得るか？
• RQ5 Pendergrassの定理（マトロイドの切断がOrlik-Solomon代数を保存する）は、等変設定に拡張可能か？

主な発見

• 等変Orlik-Solomon代数は、点付き向き付きマトロイドから導かれる関係（eᵢ² = 0 および codim(∩_{i∈S} Hᵢ) > |S| ならば ∂(∏_{i∈S} eᵢ) = 0）で生成されるイデアルJを用いて、Z₂[e₁,…,eₙ,x]/Jと同型である。
• この代数は、通常のOrlik-Solomon代数をVarchenko-Gelfand環VG(A; Z₂)への変形として与え、後者の位相的解釈を提供する。
• M(A)のZ₂-等変ホモトピー型は、Aの向き付きマトロイドによって決定される。これは、等変ホモトピー同値性が等変コホモロジー環の同型を含むことから示される。
• ランク3配置の一般化されたランク2切断により得られる2つの配置AとA′は、補集合が微分同相であるが、Macaulay 2による annihilator 計算により、等変Orlik-Solomon代数が非同型であることが確認された。
• 2つの実直線配置のフリップにより得られる補集合は、Falkの結果によりホモトピー同値であるが、等変Orlik-Solomon代数は非同型であり、A(A; Z₂)におけるe₂の annihilator が2つの線形要素で生成されるのに対し、A(A′; Z₂)ではその性質が成立しない。
• この例により、等変Orlik-Solomon代数は点付き非向き付きマトロイドによって決定されず、Pendergrassの定理の等変設定への拡張は成立しないことが示された。