[論文レビュー] The Erdös-Hajnal Conjecture---A Survey

Maria Chudnovsky|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

このサーベイ論文は、Erdős-Hajnal予想を包括的にレビューしている。この予想は、任意の固定されたグラフ $ H $ に対して、$ H $-free グラフのクリークまたは安定集合のサイズが $ |V(G)|^{\delta(H)} $ 以上である、ある $ \delta(H) > 0 $ が存在すると述べている。論文は、Erdős-Hajnal性質を持つ既知のグラフを詳述し、予想の弱体化を検討し、トーナメントにおける類似概念を調べ、極値グラフ理論における構造的結果と未解決問題を提示している。

ABSTRACT

The Erdös-Hajnal conjecture states that for every graph $H$, there exists a constant $δ(H) > 0$ such that every graph $G$ with no induced subgraph isomorphic to $H$ has either a clique or a stable set of size at least $|V(G)|^{δ(H)}$. This paper is a survey of some of the known results on this conjecture.

研究の動機と目的

• 極値グラフ理論における中心的未解決問題であるErdős-Hajnal予想に関する既知の結果をサーベイすること。
• Erdős-Hajnal性質を満たすグラフ $ H $ を特定し、特徴づけること、すなわち $ H $-free グラフが多項式的に大きなクリークまたは安定集合をもつこと。
• 予想の弱体化、例えば指数関数的でない下界や完全グラフの役割を検討すること。
• トーナメントにおける予想の類似概念を調査すること、EH係数およびEH上界値の定義を含む。
• $ H $-free グラフおよびトーナメントにおけるヒーロー族、擬似ヒーロー、構造的性質の関係を明確化すること。

提案手法

• 完全グラフの強力な完全グラフ定理を用いて、完全グラフが大きなクリークまたは安定集合の存在と関係することを示す。
• グラフの置換操作を応用し、小さなグラフからErdős-Hajnal性質を持つ新しいグラフを構成する。
• EH係数およびEH上界値を導入し、$ S $-free トーナメントにおける最大安定集合の成長率を定量化する。
• 帰納的証明および禁止部分グラフの特徴づけ、例えば $ P_4 $-free グラフに関するSeinscheの定理を用いる。
• 強連結成分の分析と再帰的分解を用いて、トーナメントにおける擬似ヒーローおよび擬似有名人を分類する。
• 極値組合せ論を用いて、ほとんどすべての $ n $ 頂点トーナメントが、$ c/n $ 未満のEH上界値をもつことを示し、大きなEH係数がまれであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ $ H $ がErdős-Hajnal性質を満たすことが既知であり、どのような構造的特徴がこれを保証するか？
• RQ2 Erdős-Hajnal性質と $ H $-free グラフにおける大きな完全な誘導部分グラフの存在との関係は何か？
• RQ3 指数関数的でない下界のような予想の弱体化は、完全な多項式予想とどのように比較されるか？
• RQ4 正のEH係数をもつトーナメントはどのように特徴づけられるか？また、EH上界値はどのように振る舞うか？
• RQ5 EH上界値が $ 5/6 $ を超えることは、構造的障害があるか？

主な発見

• Erdős-Hajnal予想は未解決のままだが、2頂点以下のグラフ、完全グラフ、それらの補グラフ、2辺および3辺のパスは、すべてErdős-Hajnal性質を満たすことが知られている。
• 置換操作はErdős-Hajnal性質を保存する：$ H_1 $ および $ H_2 $ が性質を満たすならば、$ H_1 $ の頂点に $ H_2 $ を置換して得られる任意のグラフも同様に性質を満たす。
• 誘導部分グラフとして $ P_4 $（3辺のパス）を含まないすべての $ H $-free グラフは完全グラフであるため、そのようなグラフは、$ \sqrt{|V(G)|} $ 以上のクリークまたは安定集合をもつ。
• 予想は、すべての $ H $-free グラフに、サイズが少なくとも $ |V(G)|^{\psi(H)} $ の完全な誘導部分グラフが存在することと同値であり、これは帰納的証明を簡略化する。
• トーナメントにおいて、EH上界値 $ \xi(S) $ は1または $ 5/6 $ 未満であり、$ \xi(S) > 5/6 $ ならば $ \xi(S) = 1 $ であることが示され、可能な値にギャップがあることがわかる。
• すべての $ n $ 頂点トーナメントのほとんどが、任意の固定された $ c > 4 $ に対して、EH上界値が $ c/n $ 未満であることが示され、大きなEH係数がまれであることがわかる。