[論文レビュー] The Erdős-Hajnal conjecture for caterpillars and their complements

Anita Liebenau, Marcin Pilipczuk|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、補グラフについて閉じた遺伝的グラフクラスが、固定されたカタツムリ（caterpillar）とその補グラフを誘導部分グラフとして含まない場合、強いErdős-Hajnal性質が成り立つことを証明する。構造的分解とスパースグラフ技術を用いて、このようなグラフが2つの線形サイズの頂点集合をもち、それらは完全に隣接しているか、完全に非隣接であることを示し、これにより、パスやフックにとどまらず、すべてのカタツムリにまで知られていた結果が拡張される。

ABSTRACT

The celebrated Erdős-Hajnal conjecture states that for every proper hereditary graph class $\mathcal{G}$ there exists a constant $\varepsilon = \varepsilon(\mathcal{G}) > 0$ such that every graph $G \in \mathcal{G}$ contains a clique or an independent set of size $|V(G)|^\varepsilon$. Recently, there has been a growing interest in the symmetrized variant of this conjecture, where one additionally requires $\mathcal{G}$ to be closed under complementation. We show that any hereditary graph class that is closed under complementation and excludes a fixed caterpillar as an induced subgraph satisfies the Erdős-Hajnal conjecture. Here, a caterpillar is a tree whose vertices of degree at least three lie on a single path (i.e., our caterpillars may have arbitrarily long legs). In fact, we prove a stronger property of such graph classes, called in the literature the strong Erdős-Hajnal property: for every such graph class $\mathcal{G}$, there exists a constant $δ= δ(\mathcal{G}) > 0$ such that every graph $G \in \mathcal{G}$ contains two disjoint sets $A,B \subseteq V(G)$ of size at least $δ|V(G)|$ each so that either all edges between $A$ and $B$ are present in $G$, or none of them. This result significantly extends the family of graph classes for which we know that the strong Erdős-Hajnal property holds; for graph classes excluding a graph $H$ and its complement it was previously known only for paths [Bousquet, Lagoutte, Thomassé, JCTB 2015] and hooks (i.e., paths with an additional pendant vertex at third vertex of the path) [Choromanski, Falik, Liebenau, Patel, Pilipczuk, arXiv:1508.00634].

研究の動機と目的

• カタツムリとその補グラフを誘導部分グラフとして含まないグラフクラスに対して、強いErdős-Hajnal性質を証明することで、Conjecture 1.1 をすべてのカタツムリについて解決すること。
• パスやフックといった既存の事例を超えて、強いErdős-Hajnal性質を満たすグラフクラスの族を拡張すること。
• 局所的密度が有界なスパースグラフを扱うための構造的フレームワークを提供し、Erdős-Hajnal予想およびχ-有界性予想に関連するものとする。
• 今後、カタツムリでない木（例：10頂点の木）に向けた一般化の基盤を築くこと。

提案手法

• すべての高次元頂点が1つのパス上にあるという事実を活用し、中心のパスと周辺の頂点にグラフを構造的に分解する（カタツムリ構造）。
• FoxとSudakovの手法にインspiredされたスパースグラフ技術を用い、局所的密度が有界で、近隣集合の成長が制御されるグラフに焦点を当てる。
• 反復的 refine を用いた近隣集合の選定と、高カバレッジ頂点の選択により、2つの互いに素な頂点集合 A と B（両方とも線形サイズ）を構成し、それぞれが完全に隣接しているか、完全に非隣接であることを保証する。
• Ramsey型の議論を適用し、任意の線形サイズの部分集合において、有界半径内に多数の近隣を持つ頂点が存在することを保証し、これにより大きな同質ペアを同定可能とする。
• カタツムリの構造に基づく帰納法とケース解析を用い、近隣集合や非隣接性の性質を異なるコンポonent間で分析する。
• クラスが補グラフについて閉じているという事実を活用し、グラフとその補グラフの両方に対して一貫性のある解析を可能とし、堅牢性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補グラフについて閉じた遺伝的グラフクラスが、固定されたカタツムリを誘導部分グラフとして含まない場合、強いErdős-Hajnal性質を満たすか？
• RQ2 パスやフックに対して用いられた手法を、任意に長い脚を持つ木を含むすべてのカタツムリに一般化できるか？
• RQ3 パス型やフック型の構造を超えて、このようなグラフクラスが大きな同質ペアを示す一貫した構造的根拠は存在するか？
• RQ4 大きな球体性質（局所的密度条件）を用いて、Erdős-Hajnal性質とχ-有界性の両方のアプローチを、スパースグラフクラスにおいて統一できるか？
• RQ5 補グラフについて閉じたグラフクラスにおける強いErdős-Hajnal性質の最小障害要因は何か？

主な発見

• すべての補グラフについて閉じた遺伝的グラフクラスで、固定されたカタツムリとその補グラフを誘導部分グラフとして含まないものに対して、強いErdős-Hajnal性質が成り立つ。
• 任意のカタツムリ T に対して、T を含まないかつ T̄ を含まないグラフのクラスには、正の定数 δ > 0 が存在し、そのクラスに属する n 頂点の任意のグラフは、それぞれが少なくとも δn 個の頂点をもち、完全に隣接しているか完全に非隣接であるような2つの互いに素な頂点集合 A と B を含む。
• この結果により、パスやフックにとどまらず、任意に長い脚を持つカタツムリを含むすべてのカタツムリを含む、強いErdős-Hajnal性質を満たすグラフクラスの族が拡張された。
• 証明により、近隣集合の制御と反復的選択を用いた構造的分解が可能であり、これにより大きな同質ペアを同定できることが示された。
• この結果により、9頂点以下のすべての木について Conjecture 1.1 が解決され、10頂点の非カタツムリ木に対するアプローチのフレームワークが提供された。
• 本研究は、禁止部分木とその補グラフによって定義されるグラフクラスにおけるχ-有界性およびErdős-Hajnal型性質に関する今後の研究の基盤を提供する。