[論文レビュー] The ergodic theory of lattice subgroups

Alexander Gorodnik, Amos Nevo|ArXiv.org|May 22, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 37被引用数 79

ひとこと要約

本稿は、単純代数群およびS代数群の格子部分群の作用に対して、定量的平均および点ごとのエルゴード理論の定理を確立し、スペクトルギャップが存在する場合には明示的な収束速度を証明する。格子点数え上げ問題を鋭い誤差項で解き、一般の枠組みを用いてスペクトル的性質、幾何的正則性、および許容的集合における体積成長を結びつける。

ABSTRACT

We prove mean and pointwise ergodic theorems for general families of averages on a semisimple algebraic (or S-algebraic) group G, together with an explicit rate of convergence when the action has a spectral gap. Given any lattice in G, we use the ergodic theorems for G to solve the lattice point counting problem for general domains in G, and prove mean and pointwise ergodic theorems for arbitrary measure-preserving actions of the lattice, together with explicit rates of convergence when a spectral gap is present. We also prove an equidistribution theorem in arbitrary isometric actions of the lattice. For the proof we develop a general method to derive ergodic theorems for actions of a locally compact group G, and of a lattice subgroup Gamma, provided certain natural spectral, geometric and regularity conditions are satisfied by the group G, the lattice Gamma, and the domains where the averages are supported. In particular, we establish the general principle that under these conditions a quantitative mean ergodic theorem for a family of averages gives rise to a quantitative solution of the lattice point counting problem in their supports. We demonstrate the new explicit error terms that we obtain by a variety of examples.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群およびその格子の作用に対するエルゴード定理を、スペクトル的、幾何的、正則性的条件の下で一般化する枠組みを構築すること。
• 単純群およびS代数群の一般領域における格子点数え上げ問題を、明示的な誤差項で解くこと。
• 任意の測度保存作用における格子部分群の平均および点ごとのエルゴード定理を確立し、スペクトルギャップが存在する場合には定量的収束速度を示すこと。
• 発展させたエルゴード理論の枠組みを用いて、格子部分群の等長作用における分布の均等化を証明すること。
• $L^2(G/\Gamma)$における平均の族に対する定量的平均エルゴード定理が、その平均の台における格子点数え上げ問題の定量的解を示すことを示すこと。

提案手法

• 局所コンパクト群 $G$ における許容的集合の概念を導入し、左不変計量およびハール測度の成長に関する幾何的・測度的条件によって定義する。
• スペクトル推定と球関数の理論を用いて、$G$ 上の平均族に対する最大不等式および指数的最大不等式を確立する。
• スペクトルギャップの技術を用いて、$G$-作用に対するエルゴード定理を証明し、スペクトルギャップの存在が指数的収束速度をもたらすことを示す。
• 格子作用を $G/\Gamma$ 上の誘導作用に還元し、還元定理および強最大不等式を用いて $G$-作用の結果を適用する。
• 体積正則性およびタウーベリアン補題を用いて、代数的多様体上の高さ関数のレベル集合のホルダー連続性および体積推定を得る。
• 特異点のヒロナカ解消および畳み込み技法を用いて、体積関数の解析的性質を分析し、高さ関数によって定義される族の許容性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純リー群における一般の平均族のエルゴード定理は、最小限の幾何的およびスペクトル的仮定のもとでどのように確立できるか？
• RQ2 群作用のスペクトルギャップと平均および点ごとのエルゴード定理における収束速度との間の明確な関係は何か？
• RQ3 エルゴード的理論的手法を用いて、$G$ の任意の領域における格子点数え上げ問題を明示的な誤差項で解くことは可能か？
• RQ4 格子部分群の等長作用における軌道測度の分布の均等化は、どのような条件下で成立するか？
• RQ5 代数的多様体上の正則関数のレベル集合の体積成長特性は、平均化族の許容性および正則性にどのように影響するか？

主な発見

• $L^2(G/\Gamma)$ における許容的平均族に対する定量的平均エルゴード定理は、その平均の台における格子点数え上げ問題の解を明示的な誤差項で示す。
• スペクトルギャップが存在する場合、格子作用における平均および点ごとのエルゴード定理の収束は指数的に速く、誤差項は $e^{-c t}$ のように $c>0$ に対して減少する。
• カルタン＝キリング計量によって定義される単純リー群内の径対称集合に対しては、体積成長が $m_G(G_{t+\tau}) \leq (1 + c\tau) m_G(G_t)$ を満たし、許容的であることが確認される。
• 局所体上のアフィン多様体の直積上の関数 $t \mapsto \text{vol}(\{x : \sum_i \log \|x_i\|_i < t\})$ は一様ホルダー連続であり、体積正則性を保証する。
• 実代数的多様体上の高さ関数に対して、体積関数 $g(t) = \int_{\Psi < t} d\omega$ は、ある $\beta > 0$ に対して $g((1+\epsilon)t) - g(t) \ll \epsilon^\beta \max\{1, g(t)\}$ を満たし、ホルダー正則性を確立する。
• 理論は $S$-代数群およびその格子に適用可能であり、整数ユニモジュラー行列の数え上げ、$n$-形式の整数同値、双曲的格子点問題に対して明示的な誤差項が得られる。